ω
积分，得
x
r
x A r c
该约束仍为完整约束。
8
12.1 约束· 自由度与广义坐标
(4)单面约束和双面约束 限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。 在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限 制的约束称为双面约束。
O x O x

杆 y
l y

绳 M (x,y)
l
M (x,y)
12.2 虚位移· 虚功和理想约束
三、理想约束 如果在质点系的任何虚位移上，所有约束力所作虚功 的和等于零，则称这种约束为理想约束。即
δWN δWNi FNi δri 0
理想约束的例子： 1、光滑固定面 2、光滑铰链
FN
δr
' FN
δr
FN
δWN FN δr 0
' δ W F δ r F N N N δr 0
3
12.1 约束· 自由度与广义坐标
一、约束及其分类 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。 表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。
y
O
x
A(xA, yA)

y
l
O
r
l
B(xB, yB) x
M (x,y)
约束方程：
x2 y 2 l 2
约束方程: 2 2 xA y A r 2 ( xB xA )2 ( yB y A )2 l 2 yB 0 4
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分 符号表示虚位移。
F1 A
F2 O
δrB
B
F1 A
F2
O B
δrA
δ
δrA
δ
δrB
13
12.2 虚位移· 虚功和理想约束
必须注意：虚位移与实际位移(简称实位移)是不同的。 实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，它除 了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始 条件有关。而虚位移仅与约束条件有关。 因为虚位移是任意的无限小的位移，所以在定常约束 的条件下，实位移只是所有虚位移中的一个，而虚位移视 约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。 对于非定常约束,某个瞬时的虚位移是将时间固定后， 约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的，所以 这时实位移不一定是虚位移中的一个。 对于无限小的实位移，我们一般用微分符号表示，例 如 dr , dx, d …等。
14
12.2 虚位移· 虚功和理想约束
二 、虚功 力在虚位移中作的功称为虚功。
F
m
δ
设某质点受力F作用。设想给质 点一虚位移 δr ，则力F在虚位移 δr上 作的功称为虚功，即
δr
δW F δr上式也可写成来自δW F cos δr
因为虚位移是假想的，因此虚功也是假想的，是虚的。
15
12.1 约束· 自由度与广义坐标
(1)几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。
x
限制质点或质点系运动情况的运动学条件,称为运动约束。
y
A vA C r x O
运动约束
ω

y
l
v A r 0
或
M (x,y)
几何约束
几何约束
0 A r x
5
x2 y 2 l 2
即需要有3n – s个独立参变量才能确定质点系在空间
的位置，即质点系具有r= 3n – s 个自由度。
11
12.1 约束· 自由度与广义坐标
在完整约束的条件下，用来确定质点系在空间的位置 所需独立参变量的个数称为质点系的自由度。 这种确定质点系位置的独立参变量称为广义坐标。
y
O
x
A(xA, yA)
理论力学
12 虚位移原理
2019年3月7日
1
概述
虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡 问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。 虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成 动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问 题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学 的基础。
2
第12章
虚位移定理
12.1 约束、自由度与广义坐标 12.2 虚位移、虚功和理想约束 12.3 虚位移原理
10
12.1 约束· 自由度与广义坐标
二、质点系的自由度与广义坐标
确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立的坐标，
因此，一个自由质点在空间有三个自由度。一个由n
个质点组成的质点系在空间的位置，在直角坐标系中 需用3n个坐标来描述。 如果质点系受有s个完整约束，则质点系的3n个坐标 并不是完全独立的，只有r= 3n – s 个坐标是独立的，
6
12.1 约束· 自由度与广义坐标
(3)完整约束和非完整约束
如果约束方程中含有坐标对时间的导数(如运动约束) 而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为非完整约 束。非完整约束方程总是微分方程的形式。
如果约束方程中不含坐标对时间的导数，或者约束方 程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运 算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。
完整约束方程的一般形式为 f j ( x1, y1, z1,, xn , yn , zn ; t ) 0
( j 1,2,, s)
7
式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。
12.1 约束· 自由度与广义坐标
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动。
y
A vA C
约束方程
x A r 0
约束方程：
约束方程：
2
x y l
2
2
x2 y 2 l 2
9
12.1 约束· 自由度与广义坐标
本章只讨论定常的双面的几何约束，其约束方程的一
般形式为
f j ( x1, y1, z1,, xn , yn , zn ) 0
( j 1,2,, s)
式中n为质点系的质点数，s为约束方程数。
yA r
12.1 约束· 自由度与广义坐标
(2)定常约束和非定常约束
约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。
约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。
O x O l y
x
v

y
l
M (x,y)
M (x,y)
x2 y 2 l 2
设开始时摆长：l0
x2 y 2 (l0 vt)2

y
l
O
r
l
B(xB, yB) x
M (x,y)
x2 y 2 l 2
xA y A r 2 ( xB xA )2 ( yB y A )2 l 2 yB 0 12
2
2
12.2 虚位移· 虚功和理想约束
一、虚位移 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的 任何无限小的位移，称为虚位移。