第十五章虚位移原理（静动法）
§15-1 约束、虚位移、虚功
一、约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件的数学方程称为约束方程。

1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。

限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。

2、定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定常约束。

3、其余分类
约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分或有限形式的约束称非完整约束，否则为完整约束。

约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束），约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）。

本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束。

二、虚位移
在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。

虚位移的表示方法：
ϕ
δδ,
x r 一般表示法
线位移
角位移
三、虚功
力在虚位移中作的功称虚功。

即：
r
F W δδ⋅=θ
δδsin x F W =()ϕ
δδF M W z =或
四、理想约束
如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。

∑∑=⋅==0
i Ni Ni N r F W W δδδ
§15-2 虚位移原理
一质点系在力的作用下处于平衡状态某质点受力如图示，且：
=+Ni i F F Ni
F i
F 0
=⋅+⋅=i Ni i i i r F r F W δδδ为该质点设定虚位移且
i r δi
r δ∑∑=⋅+⋅0
i Ni
i
i
r F
r F δδ且
=∴
∑i
W
δ虚功方程
虚位移原理
所表达出的原理
虚位移原理（虚功原理）：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。

()∑=++0
i zi i yi i
xi
z F y F x
F δδδ投影后的解析式为：
例1：图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅
直向上的力Ｆ，
求：支座Ｂ的水平约束力。

l
GE
DG
CB
CD
CE
AC=
=
=
=
=
=
解:解除B 端水平约束,以力代替,如图(b)Bx F 0
=+=G B Bx F y F x F w δδδθδθ
δδθδθ
θcos 3,sin 2sin 3,cos 2l y l x l y l x G B G B =-===由虚位移原理得：
各虚位移关系为：
带入虚功方程得：()0
cos 3sin 2=⋅+-θδθθδθl F l F Bx θ
cot F F Bx 2
3
=
如图在CG 间加一弹簧，刚度K ，且已有伸长量，仍求。

Bx F 0δ解法二：
在弹簧处也代之以力，如图（b)，其中
=⋅+⋅-⋅+⋅===G G G C C B Bx F G C y F y F y F x F W k F F δδδδδδ
θδθ
δθδθδθδθδcos 3,cos ,sin 2l y l y l x G C B ==-=θ
θθsin 3,sin ,cos 2l y l y l x G C B ===0
cos 3cos 3cos sin 2(00=+-+-θθδθδδθδθδθδθl F l k l k l F Bx 代入虚功方程得：
θ
δθcot cot 2
3
0k F F Bx -=解得：
例2：图所示椭圆规机构中，连杆AB 长为L ，滑块Ａ，Ｂ与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。

求：主动力与之间的关系。

B F A F
∑=⋅0
i i r F δ,
,B A r r δδ解：为A 、B 两处添加虚位移
=-B B A A r F r F δδ由虚位移原理得：
ϕ
δϕδsin cos A B r r =且0
cos =-∴
B B B A r F r F δδϕϕtan B A F F =∴
例3：如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩Ｍ与主动力Ｆ之间的关系。

解：为B 、C 两处添加虚位移
c
r δθδ,由虚位移原理得：
∑=-=0
c F r F M w δθδδ由图中关系有θ
δδsin e a r r =θ
θδδδδθθθδδ2sin ,sin h r r h OB r a C e ====θ
2sin Fh M =
例4:求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力。

解：解除A处约束，代之，给虚位移，如图（b）
F
A
2211=++-=s F M s F s F W A A F δϕδδδδ由虚位移原理得：
A M A A
s s s s s δδϕδδϕδδδδϕ81111,833,1=====8各虚位移间关系为：
A A M s s s s δδδδ14
112=⋅==8117474M F F F A 8114118321--=代入虚功方程得：。