x y l
2 2
2
方程只与位置r 有关，是几何约束方程。
例 图13-2中，一个半径为r的车轮受到粗糙水 平直线道路的约束，它限制轮心必须作直线运 动，车轮则沿道路纯滚动，它们的约束方程为
yO＝r
vO—r＝0
dxO d r 0 dt dt
方程中包含了轮心的速度O和 车轮的角速度，或轮心坐标 xO和车轮转角对时间t的一阶 导数，因此这是运动约束方程。
k＝6N–s
如果质点系属于平面问题，例如在Oxy平面内， zi≡0，x＝y≡0，则为
k＝3N–s
例：自由刚体系：OA、AB；
自由度 ＝ 3×2 ＝ 6
约束方程： xO 0, yO 0,
x A x A , y A y A , yB 0
约束数 ＝ 5
质点系自由度 ＝ 6 — 5 ＝ 1
k＝3n–s
如果质点系属于平面问题，例如，在Oxy平面内，
zi≡0，则为
k＝2n–s
例：曲柄连杆机构：
自由质点系：A、B；
自由度 ＝ 2×2 ＝ 4
约束方程：
2 2 xA yA r 2 , yB 0
( x A xB ) 2 ( y A y B ) 2 l 2
约束数 ＝ 3
约束方程：用解析表达式表示的限制条件称为。
在静力学中，考虑的是：如何将约束 对物体的限制作用以约束力的形式表 现出来。 在虚位移原理中考虑的是：如何将约 束对物体的位置、形状以及运动的限 制作用，用解析表达式的形式表现出 来。
约束的分类
几何约束和运动约束
定常约束和非定常约束 完整约束和非完整约束 双面约束和单面约束
几何约束和运动约束
几何约束：约束只限制质点或质点系在空间 的位置。 运动约束：如果约束对于质点或质点系不仅有 位移方面的限制，还有速度或角速 度方面的限制，这种约束称为运动 约束。
例 图 13-1 中的单摆，摆 锤M可简化为一质点，受 到水平转轴 O 和摆杆 OM 的约束，且在 Oxy 平面内 绕 O 轴摆动，设摆杆长 l， 则几何约束方程为
定常约束和非定常约束
定常约束：约束方程中不显含时间变量t， 这种约束称为定常约束； 非定常约束：显含时间变量t的约束。
单摆、车轮 的约束，都 是定常约束。
x y l
2 2
2
vO—r＝0
图13-3为一变长度的单摆，摆锤M可简化为 质点，约束它的是一软线。此软线的起始长 度为l0 ，穿过固定在O点上的小圆环，以不 变的速度v0向左下方拉曳，迫使摆锤M在铅 直平面Oxyz内作变摆长的摆动。 在任意瞬时t，其约束 方程为1 , q2 ,, qk )
i 1,2,, n
第二节 虚位移 虚功
第十四章 虚位移原理
第一节 虚位移的基本概念
第二节 虚位移 虚功 第三节 虚位移原理及应用
第一节 虚位移的基本概念
约束和约束方程
约束的分类
自由度 广义坐标
约束和约束方程
自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等等）只 取决于作用力和运动的起始条件。 其运动称为自由运动。 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预先给定 的限制（运动的起始条件也要满足这 些限制条件） 其运动称为非自由运动。 约束：非自由质点系受到的预先给定的限制。
图示平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、 A组成。
N＝2，s＝4， k＝3×2–4＝2。
在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该 系统的自由度数。
设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。该 系统有k＝3n-s个自由度。若选择 q1，q2，…， qk作为确定此系统位置的k个广义坐标。
系统任一质点Mi的坐标可以表示为广义坐标的 函数，即 xi xi (q1 , q2 ,, qk ) i 1,2,, n yi yi (q1 , q2 ,, qk ) z z ( q , q , , q ) i 1 2 k i
质点系自由度 ＝ 4 - 3 ＝ 1
质点系自由度 ＝ 自由质点系自由度 - 约束（方程）数
2. 以刚体作为基本单元 设某质点系由N个刚体、s个完整约束组成。一般
地说，要用3N个线位移坐标（例如直角坐标系的三个 直角坐标）和3N个角位移坐标（例如三个欧拉角）， 共计6N个坐标来确定这N个刚体在空间的位置；同时该 质点系还要受到s个约束方程的限制。确定该质点系位 置的独立坐标的数目亦即自由度数k为
约束方程：x 2 y 2 l 2
如改用不可伸长的软线约束，则只 能限制摆锤沿软线受拉方向的运动， 并不能限制摆锤沿软线受压方向的 运动，其约束为单面约束方程
约束方程: x y l
2 2
2
自由度
1. 以质点作为质点系的基本单元
设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。在 直角坐标系中，用3n个坐标来确定n个质点在 空间的位置；但该质点系受到s个约束方程的限 制。因此，确定该质点系位置的独立坐标的数 目，即自由度数k为
dt
dt
b是积分常数，由运动的起始条件确定
非完整约束: 如果约束方程中包含坐标对时间 的导数，此导数还不能转换为有限形式，这种 约束称为非完整约束。
双面约束和单面约束
双面约束:约束不仅能限制质点在某一方向的运 动，还能限制其在相反方向的运动。 单面约束:约束只能限制某一方向的运动。 单摆如用摆杆约束，则为双面约束；
x2＋y2＝(l0–v0 t)2
式中显含时间变量t 是非定常约束
完整约束和非完整约束
完整约束: 如果在约束方程中不包含坐标对时间 的导数，或者虽然包含坐标对时间的导数，但是 它可以积分，转换为有限形式， 这种约束称为完整约束。 dxO d r 0 vO—r＝0
xO r b 0
质点系自由度
＝ 自由刚体系自由度 - 约束（方程）数
广义坐标 广义坐标：用来确定质点系位置的独立变参量 称为广义坐标。
若选1和2作广义坐标，则A、B两点的坐标方程为
xA yA xB yB
l1 cos 1 l1 sin 1 l1 cos 1 l2 cos 2 l1 sin 1 l2 sin 2