圆锥曲线间的三个统一巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。

一、四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e ，则当01e <<时，动点P 的轨迹是椭圆：当1e =时，动点P 的轨迹是抛物线；当1e >时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e =，我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值（非零），则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为焦点，L 为准线。

二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。

为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p ，则2b p a=。

如图1，将椭圆22221(0)x y a b a b+=>>按向量（,0a ）平移 得到2222()1x a y a b -+= ∴222222b b y x x a a=+ ∵椭圆的半通径211||b F M p a ==，2221b e a=- ∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x =+- (01)e <<类似的，如图2，将双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>按向量(,0)a -平移得到2222()1x a y a b +-= ∴222222b b y x x a a=+ ∵双曲线的半通径222||b F M a =，2221b e a=- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成2222(1)(1)y px e x e =+-=对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-=于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。

三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式在同一坐标系下，作出方程2222(1)y px e x =+-所表示的四种圆锥曲线，如图3，设P 、B 、A 、C 分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为2222(1)y px e x =+-的焦点F 则有222(1)(1)11c a a e P OC c a e a c e e --=-===>+++ (1)21p p OA e e ===+，222(1)(01)11a c a e p OB a c e a c e e --=-===<<+++ (0)1p OP p e e ===+ 即方程2222(1)y px e x =+-所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为(,0)1p F e +，设焦点F 相应的准线为x m =，则有OF e m =-。

∴准线L 为(1)p x m e e -==+，对于圆0e =表示准线L 在无限远处，设点00(,)M x y 为曲线2222(1)y px e x =+-上在y 轴右侧的动点，则点M 对焦点F 的焦半径00||()1p mF e x m ex e =-=++。

圆锥曲线的在统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地联系起来，从而更好地理解圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线解决实际问题。

圆锥曲线中的数学思想方法巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅在解决圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时所遇到的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法，帮助我们解决问题。

思想方法一：分类讨论思想例 1. 给定抛物线22y x =设(,0)A a ()a R +∈，P 是抛物线上的一点，且||PA d =，试求d 的最小值。

解：设00(,)P x y (0)x ≥，则2002y x =∴||d PA ====又a R +∈，00x ≥∴（1）当01a <<时，10a ->，此时有00x =min d a ==（2）当1a ≥时，此时有01x a =-min d =评注：引起分类讨论的情况有：参数的取值围、去绝对值符号、大小关系不等式等，在讨论中要思维全面，谨慎，做到不懂不漏。

思想方法二：转化思想例2 已知过点A （―2，―4）且斜率为1的直线L 交抛物线22(0)y px p =>于B 、C 两点，若|AB|、|BC|、|CA|成等比数列，求抛物线方程。

解：直线L 的方程为2y x =-设B （11,x y ），22(,)C x y由222y x y px=-⎧⎨=⎩ 得22(2)40x p x -++=∴122(2)x x p +=+ 124x x =∵|AB|、|BC|、|CA|成等比数列 ∴||||||||BC CA AB BC = 过A 作直线l '∥x 轴，设B 、C 在l '上的射影分别是B '，C ' 则211||||||||2x x BC B C AB AB x ''-=='+ 2212||||||||x CA C A BC B A x x '+==''- ∴21222122x x x x x x -+=+- 即22112()(2)(2)x x x x -=++ ∴212121212()42()4x x x x x x x x +-=+++得24(2)1644(2)4p p +-=+++ 化简为2340p p +-=解得1p =满足1∆>或4p =-（舍去）故所求的抛物线方程为22y x =评注：如何将“|AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A 、B 、C 三点坐标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目的。

思想方法三：化归思想例3 直线L ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点A 、B 。

（1）数k 的取值围。

（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点。

解：（1）将直线L 的方程1y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=，得 22(2)220k x kx -++= ①依题意直线L 与双曲线C 的右支交于不同两点∴2222220(2)8(2)02220,022k k k k k k k ⎧⎪-≠⎪∆=-->⇒-<<⎨⎪⎪->>--⎩2）设A 、B 两点的坐标分别为1122(,)(,)x y x y则由①可得 12222k x x k +=-，12222x x k =- ② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c ，0）则由FA ⊥FB 得1212()()0x c x c y y --+=整理得：221212(1)()()10k x x k c x x c ++-+++= ③把②式及2c =代入③式化简得：2560k +-=∴65k =-或6(2,5k =∉-（舍去）∴k =使得以AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F 。

评注：解决数学问题的过程，实质就是在不断转化与化归的过程。

应在解题时注意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷。

思想方法四：数形结合思想例4函数y =________。

分析：原式=，其几何模型是定曲线2y x =上的动点(,)p x y 到两定点A （3，2），B （0，1）的距离之差，要求其最大值。

||||||y AP PB AB =-≤==∴max y 评注：利用问题模型的几何意义，借助图形性质来解决问题，可使抽象问题具体化，复杂问题简单化。

思想方法五：函数与方程思想例5 斜率为2的直线与等轴双曲线2212x y -=相交于两点12,P P ，求线段12P P 中点的轨迹方程。

解：设直线方程为2y x m =+代入双曲线方程得2234120x mx m +++=∵直线与双曲线相交于12,P P∴22(4)43(12)0m m ∆=-⨯⨯+>∴6m >或6m <-设12,P P 的坐标为11(,)x y 22(,)x y ，线段12P P 中点为(,)x y 则12223x x x m +==-且4x <-或4x > ∴32m x =- 代入直线方程得： 所求轨迹方程为12y x = （4x >或4x <-） 思想方法六：构造思想例6 已知,x y 满足2211625x y +=，求3y x -的取值围。

解：令3y x -=b ，则3y x b =+原问题转化为：在椭圆2211625x y +=相切时，有最大截距与最小截距 由22311625y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得2216996164000x bx x ++-= 由0∆= 得13b =±∴3y x =的取值围为[－13，13]评注：应用构造思想解题的关键有①要有明确方向，即为何构造②要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合。

思想方法七：对称思想例7 在直线L ：90x y --=上任取一点M 过M 且以椭圆221123x y +=的焦点为焦点作椭圆。

问M 在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出其方程。

解：∵221123x y +=的两焦点12(3,0),(3,0)F F -，1F '是1F 关于L 的对称点 又11F F '的直线方程为30x y ++=与90x y -+=联立，求得1(9,6)F '-，这时12F F '的方程为230x y +-=23090x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 得(5,4)M =- 这时122||a F F '==∴椭圆方程为2214536x y += 评注：用对称思想解题，不仅可以利用对称的性质，沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决。

思想方法八：参数思想例8 在椭圆2244x y x +=上，求使22z x y =-取得最大值和最小值的点P 的坐标。

解：将已知方程转化为22(2)141x y -+= 设椭圆上动点P 为(22cos ,sin )θθ+∴22z x y =-=222241(22cos )sin 5cos 8cos 35(cos )55θθθθθ+-=++=+-∴当4cos 5θ=-，即点P 坐标为23(,)55或23(,)55-时，min 15z =- 当cos 1θ=，即点P 坐标为（4，0）时，max 16z =评注：参数法是很重要的一种方法，特别是求最值问题、不等式问题，引入参数往往能减少变元，避免繁琐的运算。