函数的图像【知识梳理】 一、函数的图像1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面． 二、函数图像的变化1、平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．①()y f x =h左移→()y f x h =+； ②()y f x =h右移→()y f x h =-； ③()y f x =h 上移→()y f x h =+； ④()y f x =h下移→()y f x h =-.2、对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； （2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； （4）函数1()y fx -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．①()y f x =轴x →()y f x =-；②()y f x =轴y →()y f x =-；③()y f x =ax =→直线(2)y f a x =-；④()y f x =原点→()y f x =--.提示：()i 若()(),R f a x f b x x +=-∈恒成立，则()y f x =的图象关于2a bx +=成轴对称图形， 若()(),R f a x f b x x +=--∈，则()y f x =的图象关于点(,0)2a b+成中心对称图形． ()ii 函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线1()2x b a =-对称.3、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4、伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． ①()y f x =ω⨯→x ()xy f ω=;② ()y f x =ω⨯→y ()y f x ω=.【经典例题】【例1】函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ A ）A .B .C .D .【例2】说明由函数2xy =的图像经过怎样的图像变换得到函数321x y --=+的图像．【解析】：（1）将函数2x y =的图像向右平移3个单位，得到函数32x y -=的图像；（2）作出函数32x y -=的图像关于y 轴对称的图像，得到函数32x y --=的图像；（3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像．【例3】（1）试作出函数1y x x=+的图像； （2）对每一个实数x ，三个数2,,1x x x --中最大者记为y ，试判断y 是否是x 的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？ 【例4】已知函数2()|43|f x x x =-+(1)求函数()f x 的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程()f x a x -=至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 【课堂练习】1、下列每组两个函数的图象中，正确的是（ ）A. B. C. D.2、在下列图象中，二次函数2y ax bx =+与指数函数()xb y a=的图象只可能是（ ）3、已知函数a y x=与2,y ax bx =+则下列图象正确的是（ ）4、函数y =的图象是（ ）5、函数312x y x -=+的图象 （ ）A. 关于点(2,3)-对称B. 关于点(2,3)-对称C. 关于直线2x =-对称D. 关于直线3y =-对称 6、设函数()y f x =定义在实数集上，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =--的图象关于（ ）对称 A.直线0x = B.直线1x = C.点(0,0) D.点(1,0) 7、在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确．．．的是（ ） A ．2|log |y x = B. |x|2y = C. 20.5log y x = D. 13||y x-=o yxo yxo y xo yx8、已知函数()y f x =的图象如图，则(1)y f x =-的图象是（ ）11-1o yxA11-1o yxB-21-1oyxC11-1oyxD 11-1o yx9、下列命题中：①函数()y f x =的图象与()x f y =的图象关于直线y x =对称；②若()()f x f x =--,则()f x 的图象关于原点对称；③若()()f x f x =-,则()f x 的图象关于y 轴对称；④()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称，其中真命题是（ ）A 、②③B 、②③④C 、①②③D 、全都是 10、若函数2log |1|y ax =-图象的对称轴是2,x =则非零实数a 的值为 . 11、函数(||)y f x m =-的图象与(||)y f x =的图象关于直线 对称. 12、方程2|23|(2)x x a x +-=-有四个实数根，求实数a 的取值范围. 【课后作业】 1、函数1ln|23|y x =-的图象为( )2、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数2log y x =的图象重合的函数是( )A ．2xy = B ．12log y x = C ．42x y = D ．21log 1y x =+3、若函数()f x 在(4,)+∞上为减函数，且对任意的,x R ∈有(4)f(4)f x x +=-，则( )A ．(2)f >(3)fB ．(2)f >(5)fC ．(3)f >(5)fD ．(3)f >(6)f4、（2009安徽）设a <,b 函数2()()y x a x b =--的图象可能是( )5、已知下图①的图象对应的函数为(),y f x =则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =- 6、函数1()1||f x x =+的图象是( )7、已知函数()f x 的定义域为[,],a b 函数()y f x =的图象如下图所示，则函数(||)f x 的图象大致是( )12、设函数(),()f x g x 的定义域分别为,,F G 且,F G .若对,x F ∀∈都有()(),g x f x =则称()g x 为()f x 在G 上的一个“延拓函数”．已知函数1()()(2xf x x =≤0),若()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数，且()g x 是偶函数，则函数()g x 的解析式为________．8、若对任意,x R ∈不等式||x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1B ．||a ≤1C ．||a <1D ．a ≥19、()f x 定义域为R ，对任意,x R ∈满足()(4)f x f x =-且当[)2,x ∈+∞时，()f x 为减函数，则( ) A ．(0)f <(1)f <(5)f B ．(1)f <(5)f <(0)f C ．(5)f <(0)f <(1)f D ．(5)f <(1)f <(0)f 10、若函数|1|1()2x y m -=+的图像与x 轴有公共点，则m的取值范围是________．11、若直线y x m =+曲线21y x =-有两个不同的交点，则m 的取值范围是________．【参考答案】【课堂练习】1、 D2、 A3、 C4、 C5、 A6、D7、 C8、 C9、 C10．1/2 11. x=m/2 12.x2+(2+a)x-2a-3=0, 由Δ=0以及-(2+a)/2<1可得a= -6+25,∴-6+25<a<0【课下作业】1、A2、C3、D4、C5、C6、C7、B8、B9、C10、－1≤m<011、1≤m< 212、g(x)＝2|x|。