2013年天津市高等院校春季招生统一考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至9页，第Ⅱ卷10至12页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共75分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂写在答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。
—、单项选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。
在每小题给出的四个选项
中，只有一项是最符合题目要求的。
1.已知全集U={1,2,3,4，5,6}，A, ={1,2,3,6}， B={3, 5}，则B ∩=C u A= A.{5} B.{3,4,5} C.{3，4，5，6} D.{1,2,3,4,5,6}
2.已知log a 4=-21
，则a=
A. 161
B=2
C.8 D=16
3.条件“χ=0”是结论“yx=0”的
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)= 1)
12lg(2-X -X 的定义域是
A.（ 21 ，-∞）
B.（ 21
，1）∪（1，＋∞）
C.（-1,1）∪（1，＋∞）
D. （0,1）∪（1，+∞）
第一页
5.在数列{a n }中，若a 2=2，且满足a n =3n-1（n ≥2）,则α5=
A.162
B. 54
C.17
D. 14
6.若α=323
π，则α是
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角 7.在下列函数中，周期为π的奇函数是
A. f(x)=sinx
B. f(x)=cosx
C. f(x)=sin2x
D. f(x)=cos2x 8.在ΔABC 中，已知AB=4，BC=6，∠B=60°，则AC= A. 28 B.27 C. 76 D.219
9.已知点A=（3,1），B=(1,2),C=(1，2),D=(2，1),则向量−−→−+−→−BD AC 2的坐标是
A. (6，-3)
B.(4，1)
C. (-1，2)
D.(3，0)
10.若点M （1，2），N （-2,3），P(4,b)在同一条直线上，则b=
A. 21
B. 23
C. 1
D. -1 11.已知点a （-1,0），B(5，0),则线段AB 为直径的圆的标准方程是 A.（x-3）2+y 2=3 B. （x-3）2+y 2=9 C.（x-2）2+y 2=3 D. （x-2）2+y 2=9 12.顶点为坐标原点，准线为直线x=-1的抛物线的标准方程是 A. y 2=4x B. y 2=-4x C. y 2=2x D. y 2=-2x
13.已知如图所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的直观图，
应该为虚线的线段共有 A.1条 B.2条
第二页
C.3条
D.4条
14.从13名学生中选出两人担任正、副组长，不同的选举结果共有 A.26种 B.78种 C.156种 D.169种
15.从不超过20的正整数中任取一个数恰好是3的倍数的概率为
A.5
1
B.41
C.203
D.103
第三页
2013年天津市高等院校春季招生统一考试
数学
第二卷（非选择题）
注意事项；
1.答第II 卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚。
2.考生须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接打在试卷上。
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上。
16.3
227x3-2
+2
125.0
x0.00120=
a-χ, χ<0,
17.已函数f(χ) = 若f(-2)+f(2)=8，则常数a= 2χ, χ≥0,
18.已知等差数列{a n }的通项公式为a n =3n -2,则其前10项和S 10= 19.经过点P （0,2）且与直线2χ-y+3=0垂直的直线方程为
20.已知正三棱柱ABC- A 1B 1C 1所有的棱长都是2，则该棱柱的体积V= 21.某样本共五个数据：32,27，a,34,40,若样本均值为35，则a=
第四页
三、解答题：本大题共4小题，共51分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.本小题满分12分
已知二次函数f(χ)=aχ2-6χ+c在其定义域有最小值-1，且f(0)=8。
1.写出函数的解析式；
2.指出函数的单调区间，并说明各单调区间内函数的单调性；
3.当f(χ)≤8时，求x的取值范围。
第五页23.本大题满分12分
已知cosα=5
4
,且2
3π
<α<2π.
1.求tanα的值；
2.求sin2α的值。
3.求cos(α- 4
π
)的值。
第六页
24.本小题满分12分
在对某地区的居民的一次人口抽样调查中，各年龄段的人数统计如下表：
1.求样本容量；
2.计算该地区居民年龄在60岁以上（含60岁）的频率；
3.已知该地区有居民80000人，估算出其中年龄在60岁以上（含60岁）的居民人
数。
第七页25.本小题满分15分
已知椭圆的方程为x2+4y2=16.
1.写出椭圆的顶点坐标、焦点坐标及离心率；
2.过椭圆的右焦点作与x轴垂直的直线L,交椭圆与P1和P2两点，求线段P1 P2的长；
3.求以椭圆短轴的两个顶点为焦点，一条渐近线为y=x的双曲线的标准方程。
第八页
2012年天津市高等院校春季招生统一考试
数学解答及评分参考
说明：
一、本解答每题只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，但只要
正确，可比照此评分标准相应给分。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误是，可视影响的程度决定后续部分
的给分，但不得超过该部分正确解答应得的分数的一半；如果后继部分的解答有严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生做到该步骤应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空不给中间分数。
一、选择题
1.A
2.D
3.A
4.B
5.B
6.D
7.C
8.B
9.A 10.C 11.D 12.A 13.C 14.C 15.D 二、填空题
16. 3 17. 2 18. 145 19. x+2y-4=0 20. -4 21. 42 三、解答题 22.
解：1.由f(0)=8,得c=8,
因为f(x)在其定义域内有最小值-1，
所以
14)6(842
-=--⨯a
a 解得 a=1
故f(x)的解析式为f(x)=x 2-6x+8. ——4分
2.
函数f(x)=x 2-6x+8的定义域是R ，其图像的对称轴为x=3, 因为a=1>0
所以f(x)在区间（-∞，3）内是减函数，在区间（3，+∞）内是增函数。
——8分 3.由f(x) ≤8，的x 2-6≤0， 解得 0≤x ≤6
故x 的取值范围是[0,6]. ——12分 23.
解：1.由于 23π
<α<2π,故
sin α=5
3
)54(1cos 122-=--=--α，
所以 tan α=
4
3
cos sin -=αα ——4分 2.
sin2α=2sin α·cos α=2×)
53
(-×（-54） =-2524 ——8分
3.cos(α- 4π )=cos α▪cos 4π +sin α▪sin 4π
= 54
x 22 +（-22）×22= 102 ——12分
第一页
24.
解：1.样本容量是
9+11+17+18+17+12+8+6+2=100 ——4分 2.样本中年龄在60岁以上（含60岁）的居民共有16人， 故居民年龄在60岁以上（含60岁）的频率为
10016
=0.16 ——8分
3.用样本估计总体，该地区60岁以上含60岁）的居民约为
80000×0.16=12800（人） ——12分 25. 解：
1.椭圆的标准方程162x - 42
y =1
由于=16,b 2
=4,故a=4，b=2,
因此c 2=a 2-b 2 =16-4=12,即c=23 所以，顶点坐标为（-4,0）、（4,0）、（0,-2）、（0,2），焦点坐标为（-3,0）、（23,0）；
离心率e=
c a
=2
3. ——7分 2.由题意知，直线l 经过椭圆的焦点（23,0），设P 1（23,y1），P 2（23,y2）， 因此（23）2 +4y 2=16,解得y 1=-1,y 2=1,故P 1（23,-1），P 2（23,1）， 因此线段P 1P 2的长为
2)11()3232(2221=--+-=
P P
——11分
3.设双曲线的半实轴为a 1，半需轴为b 1,半焦距为c 1，由题意知c 1=2, 因为双曲线的渐近线方程为y=x ，即a 1=b 1,由c 12=a 12+b 12得a 12=b 12=2. 由于双曲线的焦点在y 轴上，因此所求双曲线的标准方程为 y 2-x 2=2 .。