⎡ [Y ] ⎢ ⎢ T ⎢ ⎣[ X ]
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[ X ]⎤ ⎧{a}⎫ ⎧{G}⎫ ⎪ ⎥•⎪ ⎪ = ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ [Z ] ⎥ ⎦ ⎩{b}⎭ ⎩{F }⎭
范子杰: 模态分析理论与试验 - 5
(5.44)
第5章 振动系统模态参数识别
§5.1 模态参数频域识别方法
正交多项式曲线拟合法
以上介绍的Levy法及改进Levy法都属于线性化的最小二乘法，最终归 结为求解线性方程组
2010/4/23 范子杰: 模态分析理论与试验 - 4
第5章 振动系统模态参数识别
§5.1 模态参数频域识别方法
正交多项式曲线拟合法
[T ]( M + N +1)×( M + N +1) { A}( M + N +1)×1 = {B}( M + N +1)×1
（1）模型阶次的确定 模型阶次——分子或分母多项式的阶次(N=2n) z可在测量频段内，根据(原点)导纳函数幅频曲线出现共振峰(或反共振 点)的数目来确定(简易方法)
2010/4/23 范子杰: 模态分析理论与试验 - 3
第5章 振动系统模态参数识别
§5.1 模态参数频域识别方法
有理分式多项式曲线拟合法（Levy法） 模型阶次的确定及剩余模态的影响
{ψ }r ——第r阶复模态向量
N ×1
sr ——第r阶模态复频率
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{ x(t )}N ×1 = ∑ {ψ }r e s t
二乘法)，可识别参数。但由于存在非线性参数，故需用迭代法和初值，迭代收 敛慢，有时甚至不收敛，故而很少使
Ibrahim法(ITD法:The Ibrahim Time Domain Technique）
是指利用振动系统的实测自由响应识别模态参数。1973年，Ibrahim T S.R.首先提出：由实测的自由响应 { x(t ) x(t ) x (t )} 来识别模态参数 (实际中很少使用) 1977年，Ibrahim S.R.进行了改进，仅由实测的位移响应{x(t)}(或)识 别模态参数 (应用很方便)
可求得系数ai、bi（第j次近似） −1 ⎧W j (ωk ) = 1 ⎫ D = j (ωk ) ⎪ ⎪ D (ω )
j k
D(ω k ) ε k → { A} j → D j +1 (ω k ) D j (ω k )
⎬ 反向加权函数 ⎪ ⎭
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范子杰: 模态分析理论与试验 - 2
第5章 振动系统模态参数识别
n
R I 待识别参数有4n+2个： U r 、Vr 、σ r 、ωdr 、H C 、H C ( r = 1, 2,
n)
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范子杰: 模态分析理论与试验 - 8
第5章 振动系统模态参数识别
§5.1 模态参数频域识别方法
非线性优化方法
令： { A} = {U1 V1 σ 1 ωd 1 ,
第5章 振动系统模态参数识别
§5.1 模态参数频域识别方法
有理分式多项式曲线拟合法（Levy法） Levy法的改进(线性优化方法)
基本思想
采用逐步迭代法寻找{A}的最优值，同时迭代过程中对Levy法的加权误差 ˆk = D(ω k )ε k 进行修正或再加权（反向加权），以消除 D(ωk ) 影响 函数 ε
展开上式，可分别求得{a}、{b}
⎧([ I 2 ] − [ X ]T [ X ]){b} = { F } − [ X ]T {G} ⎪ ⎨ ⎪ ⎩{a} = {G} − [ X ]{b} (5.46)
式(5.46)说明识别参数{a}、{b}可单独求解，且方程阶次几乎是式(5.44) 的一半，降低了系数矩阵的条件数，使病态问题有所改善，运算速度 明显加快。这就是采用正交多项式进行曲线拟合的好处之一
其基本过程如右图
测 量
测 量
采样 A/D
采样 A/D
DFT／FFT
DFT／FFT
频域
估计频响函数
频域
F(ωk )
ˆ (ω ) H k
X(ωk )
ˆ (ω ) ε k = H (ω k ) − H k
频域法识别模态参数
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范子杰: 模态分析理论与试验 - 11
第5章 振动系统模态参数识别
……
ˆ j −1 (k ) = z同理，计算第j-1和j次误差函数： ε ˆ j (k ) = ε
D(ω k ) ε k → { A} j −1 → D j (ω k ) D j −1 (ω k )
ˆ j (k ) = W j (ωk ) D (ωk )ε k 或ε
q 称W j (ωk ) = D − j (ωk ) ( q = 0 ∼ 1) ⎨ ⎪ ⎩W0 (ωk ) = 1
HH (ω ) = ∑∑
l =1 r =1 n n
Clpr
ωr2 − ω 2 + jηrωr2
=∑
r =1
n
∑C
i
lpr
ωr2 − ω 2 + jηrωr2
=∑
r =1
n
ˆ (无物理意义) C pr
2 ωr2 − ω 2 + jηrω（识别 ωr、ξr） r
H（ ） lp ω
HH （ω）
H lp = ∑
系数矩阵条件数大(特别对MDOF) 拟合精度低
⎧ ⎫ ⎪• 不能保证对角占优 ⎪ [T ] 矩阵⎨ ˆ (ω ))⎤中数值动态范围很大⎬ ⎡ T T H • ~ ( , ω [ ] k ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ k ⎩ ⎭
线性方程组病态
求解精度低
采用正交多项式拟合法可缓解这一问题 线性方程组 [T ]{ A} = { B}可写成
sr t r =1
n
(
r =1
(
∗ t ∗ sr lpr
)
∗ t ∗ ∗ sr lr r 0
)
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范子杰: 模态分析理论与试验 - 12
第5章 振动系统模态参数识别
§5.2 模态参数时域识别方法
时域法是近30多年发展起来的方法，它不需输入信息，仅需输出时 域信息，且设备简单。 ˆ (t ) )进行曲线拟合(最小 ˆl (t ) (或 hlp (t ) 和 h 按照频域法思路，由 xl (t ) 与 x lp
频域法
频域法特点
z发展成熟，可靠性高，是模态参数识别主要方法 z实验设备较复杂(激振设备、测量设备、A/D、FFT设备等) z实验周期长 z多在实验室条件下进行
时域法
脉冲响应： 自由响应：
hlp (t ) = L [ H lp ( s )] = ∑ Alpr e + A e
−1 sr t
n
xl (t ) = ∑ ψ lr qr 0e + ψ q e
z对于稀疏模态、小阻尼系统—— 分量法、矢量法(主模态法) z对于一般系统—— K-DAP法、Levy法、正交多项式曲线 拟合法、总体曲线拟合法等
范子杰: 模态分析理论与试验 - 10
2010/4/23
第5章 振动系统模态参数识别
激励 f(t) 响应 x(t)
频域法
（时域信号）
振动系统
（时域信号）
正交多项式曲线拟合法
基本思想： 将多项式N(s)、D(s)写成正交多项式(在满足一定条件下) 若N(s)、D(s)为正交多项式，则[Y]、[Z]将变为单位阵，即
⎡ [ I1 ] ⎢ ⎢ T ⎢ ⎣[ X ] [ X ]⎤ ⎧{a}⎫ ⎧{G}⎫ ⎪ ⎥•⎪ ⎪ = ⎪ ⎬ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ [ I 2 ]⎥ ⎦ ⎩{b}⎭ ⎩{F }⎭ (5.45)
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第5章 振动系统模态参数识别
§5.1 模态参数频域识别方法
总体曲线拟合法
对任一测点 H lp (ω ) 通过曲线拟合可得（ ωr , ξ r）(r=1,2,…N)。测点l不同， 测量误差及识别精度也不同，识别出的的（ωr , ξ） r (r=1,2,…N)并不一致(特 别是 ξ r 差别可能较大)，势必导致极点和留数(振型)产生更大的误差。为 减少误差，可以把曲线拟合分两步进行：
其中：n——系统自由度数(连续系统
n→∞
)
(5.48)
对实际问题，测量信号中所含模态数(模型阶次)M<<n M 2M ∗ s t s t ∗ r r 则第l个实测响应为 xl (t ) = ∑ ψ lr e + ψ lr e = ∑ψ lr e sr t
r =1
(
)
r =1
设选N个输出测点(l=1,2…N)，由(5.48)式：
（1）模型阶次的确定 z在测量频段内，先设模型阶次(N=2n)，求得识别参数ai、bi，代入频 ˆ (ω ) 相比较，如果两者吻合不理 响函数理论式(5.32)，并与实测值 H lp 想，应增加模型阶次(自由度数n)再进行拟合，直到吻合满意为止，模 型自由度(或阶次)也随之确定 （2）剩余模态的影响 通过增加分子和分母多项式的阶次(数)来解决
其过程如下：
ˆk = D(ω k )ε k → { A}0 → D1 (ωk ) z计算第一次误差函数： ε
可求得系数ai、bi（第一次近似） z取反向加权系数并计算误差函数： D(ω k ) ˆ1 (k ) = ε ε k → { A}1 → D2 (ω k ) D1 (ω k )
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r =1
n
Clrωr2
2 r
(l = 1, 2
n)
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范子杰: 模态分析理论与试验 - 7
第5章 振动系统模态参数识别