高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义一、基础知识【理解去记】1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为若焦点在y3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (±4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。

若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex.5.补充知识点： 几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为：12020=+byy a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ2222cos 2c a ab l -=。

6．双曲线的定义，第一定义：满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。

7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕtan sec b y a x （ϕ为参数）。

焦点在y8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F 1(-c,0), F 2(c, 0)，对应9．补充知识点：双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线12222=-by a x ，F 1（-c,0）, F 2(c, 0)是它的两个焦点。

设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex-a ；若P （x,y ）在左支上，则|PF 1|=-ex-a ，|PF 2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ2222cos 2c a ab -。

抛物线常用结论：若P(x 0, y 0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=2p x +； 2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x 0)；3）过焦点倾斜角为θ的弦长为θ2cos 12-p。

二、直线与圆锥曲线的位置关系一、知识整理：1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。

多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。

2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。

第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b （或斜率不为零时，设x=my+a ）； 第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2);第三步：联立方程组⎩⎨⎧=+=0)y ,x (f bkx y ，消去y 得关于x 的一元二次方程；第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件⎩⎨⎧>∆0二次系数不为零，⎩⎨⎧=⋅=+2121x x x x第五步：把所要解决的问题转化为x 1+x 2 、x 1x 2 ，然后代入、化简。

3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o ,y o )，先设两个交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y ,x (f ,0)y ,x (f 2211==，两式相减、分解因式，再将o 21o 212y y y ,2x x x =+=+代入其中，即可求出直线的斜率。

4.弦长公式:]x 4x )x x )[(k 1(|x x |k 1|AB |212212212-++=-+=( k 为弦AB 所在直线的斜率)高考真题:1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴322c a =，∴e =34，∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，故选C.2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C.3.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 283x y = (B) 2163x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。

4\【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45【答案】C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。

首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

【解析】解：由题意可知，2,2a b c ==∴=，设12||2,||PF x PF x ==，则12||||222PF PF x a -===，故12||42,||22PF PF ==，124F F =，利用余弦定理可得22222212121212(42)(22)43cos 2422242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅⨯⨯。

5\(2011年高考广东卷文科8)设圆C 与圆 错误！未找到引用源。

外切，与直线0y =错误！未找到引用源。

相切．则C 的圆心轨迹为（ ）A ． 抛物线B ． 双曲线C ． 椭圆D ． 圆6.【2012高考四川文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、22B 、23C 、4D 、5【答案】B[解析]设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则焦点坐标为（0,2p ），准线方程为x=2p-, 32)22(2||22,222,132p 22p -22202202=+=∴∴===+=+∴∴OM M y p y M M 有：），根据两点距离公式（点解得：）（）（线的距离，即到焦点的距离等于到准在抛物线上，Θ[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点M 到准线的距离).7.（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。

8.【2012高考四川文15】椭圆2221(5x y a a +=为定值，且a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

【答案】32，[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又522=-c a Θ32,2==∴=∴a c e c [点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.9.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x 2- y 2=1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2,则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为___________________.【答案】【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

【解析】由双曲线的方程可知121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+=Q【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。

10.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+，则m 的值为▲ ． 【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】由22214x y m m -=+得a b c∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m 。

11.【2012高考安徽文14】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______。

【答案】32【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3 得：1323cos cos 3θθ=+⇔=又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+ 12.（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线2y x = 的焦点，A ．B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为——————。