高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率2c e a ==............4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ..............5分设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y ,则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+......................7分 因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即218k =,所以4k =±,....................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率e =F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点． （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为()222210x y a b a b+=>>． --------1分∵长轴长为离心率2e =，∴1,b c a === 所求椭圆方程为2212x y +=． ----------- 4分 （2）因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-．设()()1122,,,P x y Q x y ，由 2222,1,x y y x ⎧+=⎨=-⎩ 得 23210y y +-=，解得 1211,3y y =-=．∴121223POQ S OF y y ∆=⋅-=． --------------9分（3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 1=，此时POQ ∠小于90o，,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由 ()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=．∴22121222422,1212k k x x x x k k-+==++．11(1)y k x =-Q ，22(1)y k x =- 212212k y y k -∴=+因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQ ⇔⋅=uu u r uuu r .由221212222201212k k OP OQ x x y y k k--⋅=+=+=++uu u r uuu r 得22k =，k ∴=.∴所求直线的方程为1)y x =-． ----------------14分3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A -，离心率为3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程． 3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，因为2a =，3c a =，所以 c =22243b ac =-=． 所以 椭圆的方程为223144x y +=． …………4分 （2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，则可设直线l 的方程为(2)y k x =+， 则原点O 到直线l 的距离为d =．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 2234y kx x y =⎧⎨+=⎩ 消y 得22(31)4k x +=． 可得P ，(Q ．因为 以PQ 为直径的圆与直线l 相切，所以1||2PQ d =，即||OP d =． 所以 222+=， 解得 1k =±．所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=． ………14分4．的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．4．解：（1）由已知得e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>由题意可知点(2,1)P 在椭圆上， 所以224114b b+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分 （2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立. 即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-. 因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+．所以2288214A k k x k--=+． 当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切. 由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k ----+-==+-+．由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠，且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则 112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++21614k k =+ 由于12k >，故216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k<<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t=+在1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t -'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增. 则当12t >时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.5．解: （1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，………….2分则右焦点F的坐标为)，3=，解得23a =，故所求椭圆的标准方程为2213x y +=. ………………………….5分6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线20+=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(2,1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=u u u r u u u r ，0BQ BP ⋅=u u u r u u u r，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.6．（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , ……1分 ∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =.……2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-u u u r ，11(1)AP x y =-u u u r，(1)BQ x y =+u u u r ，11(1)BP x y =+u u u r.由 0AQ AP ⋅=u u u r u u u r, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分即 11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=u u u r u u u r, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或1)P ,此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,2⎫-⎪⎪⎝⎭, (),2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∵0AQ AP ⋅=u u u r u u u r ，0BQ BP ⋅=u u u r u u u r，∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-,代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或P , 此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法1：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S =≤==. ……12分当且仅当2x =时, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ的面积最大值为52, 此时,点Q的坐标为2,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭或2,22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭.…14分解法2：由于()()22221123AB=++--=，故当点Q到直线AB的距离最大时，△ABQ的面积最大．………………………10分设与直线AB平行的直线为20x y m++=，由2220,25,x y mx y⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x，得22542250y my c++-=，由()223220250m m∆=--=，解得52m=±．………………………11分若52m=，则2y=-，2x=-；若52m=-，则2y=，2x=．…12分故当点Q的坐标为2,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭或2,22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭时，△ABQ的面积最大，其值为()2222221522212S AB+⨯=⨯=+．………………………14分7．如图，BA,分别是椭圆C：)0(12222>>=+babyax的左右顶点，F为其右焦点，2是AF与FB的等差中项，3是AF与FB的等比中项．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P是椭圆C上异于BA,的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ 垂直于AP，并交直线l于点Q．证明：BPQ,,三点共线．7．【解析】： （1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项． ∴，解得a=2，c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=3． ∴椭圆C 的方程为=1．（2）证明：直线l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k≠0），联立，化为（3+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0，∴，∴x P =，∴y P =k （x P +2）=，∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣． 直线QF 的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得y Q =， ∴Q．∴k PQ ==，k BQ =．∴k PQ =k BQ ，∴B ，P ，Q 三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=u u u u r u u u u r0是否成立？请说明理由． 8．解析：（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴ 21b =.∵2222c a b c a ==+， ∴24a =． ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ……………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． …………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．①………7分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M Mk m m y kx m m k k =+=-+=++. ……9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. ……………10分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OMk k ⨯=2211414414mk k km k +⨯=-≠--+. …………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ………13分∴AM BM +=u u u u r u u u u r0不成立. ………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① ………7分()228414214M km kmx k k =-=-++， ………………8分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.…………9分 ∴ 12221N x x kmx k+==-+. …………10分 若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. …………13分∴ AM BM +=u u u u r u u u u r0不成立. ………14分9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅u u u u r u u u r的最小值．9．【解析】（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2py x =-，………1分 代入22(0)y px p =>得：22304p x px -+=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p +=…3分∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得p =2∴抛物线的方程为：24y x =．………5分 （2）设l 方程为y x b =+，代入24y x =，得22(24)0x b x b +-+=，因为l 为抛物线C 的切线，∴0∆=，解得1b =，∴:l 1y x =+ ………7分 由（1）可知：126x x +=，121x x =设(,1)P m m +，则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+u u u u r u u u r所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=--+-+-+u u u u r u u u r2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++126x x +=，121x x =，21212()1616y y x x ==，124y y =-， 2212124()y y x x -=-，∴12y y +=221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=-+--+++u u u u r u u u r………10分222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-当且仅当2m =时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN ⋅u u u u r u u u r的最小值为14-．………12分10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标. 10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得=， （2分）化简得24x y =. （2分） （2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî，且21616k b D =+ （2分）以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x xx -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x ¹Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =- （2分） 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>22212||1||41PQ k x x k k b \=+-=++(2,)A k b -到直线PQ 的距离为22|22|1k b d k +=+ （2分）3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分） 解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y = 上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =- （2分） 设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî，\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =- （2分）代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=00(,)A x y 到直线PQ 的距离为200201|2|2114x y d x -=+ （2分）33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ． （1）求a 的值；（2）若25S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．11．（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……1分 第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==， 由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=， 解得221,2412212k k x k k ±+==±+.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, (7)分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()120122441882222222x x x x x ++⎛⎫=-+-= ⎪+++⎝⎭ ()()121244422224k x x x x k+=-==-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242kk k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …………7分∵ST =，∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=u u r u u r， ………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …11分整理得，()224410x x y k+-++=. …12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. …14分12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =u u u r u u u r.12．【解】(I)设椭圆C 的方程为)022+a x由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=2222222b a c e c b a ，解得：1,2===c b a因此：椭圆C 的方程为1222=+y x (II)（1）当B A ,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x =，由题意可得：)2,0()0,2(Y -∈m将x m =代入椭圆方程1222=+y x ，得22||2m y -= 所以：4622||2=-=∆m m S AOB ，解得：232=m 或212=m ① 又)0,()0,2(21)(21mt m t OB OA t OE t OP ==+==因为P 为椭圆C 上一点，所以12)(2=mt ② 由①②得：42=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=t （2）当B A ,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+h kx y y x 1222得：0124)21(222=-+++h khx x k 设),(),,(2211y x B y x A ，由判别式0>∆可得：2221h k >+此时：2212122212212122)(,2122,214k hh x x k y y k h x x k kh x x +=++=++-=+-=+， 所以222221221221211224)(1||k h k kx x x x kAB +-++=-++=因为点O 到直线AB 的距离21||kh d +=所以：222221||212112221||21kh k h k k d AB S AOB+⨯+-+⨯+⨯⨯==∆ 46||21212222=+-+=h k h k ③令221k n +=，代入③整理得：016163422=+-h n h n解得：24h n =或234h n =，即：22421h k =+或223421h k =+④又)21,212(),(21)(21222121k htk kht y y x x t t t ++-=++=+==因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21((21[222=+kh t ，即121222=+t k h ⑤ 将④代入⑤得：42=t 或342=t 2=t 或332=t ，经检验，符合题意综上所述：2=t 或332=t13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。