2018—2019学年度第一学期期中考试试题
高二（数学）（理）
一．选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1. 1．在△ABC 中,6
A π
=,4
B π
=
,a=1,则b=（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
2．已知数列{a n }是等比数列，且，a 4=﹣1，则{a n }的公比q 为（ ）
A ．2
B ．﹣
C ．﹣2
D ．
3．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a （km ），灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间相距（ ） A ．
a （km ）
B ．
a （km ）
C ．a （km ）
D ．2a （km ）
4．在平面直角坐标系中，不等式组240220x y x x y -+≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≥⎩
，表示的平面区域的面积是（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
5．函数f （x ）=log 2（x 2
+2x ﹣3）的定义域是（ ）
A ．[﹣3，1]
B ．（﹣3，1）
C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） 6．等差数列{a n }中，若3456789420a a a a a a a ++++++=，则210a a +=（ ） A ．100 B ．120 C ．140 D ．160 7．下列结论成立的是（ ）
A ．若ac ＞bc ，则a ＞b
B ．若a ＞b ，则a 2
＞b 2
C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a+c ＞b+d
D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣d ＞b ﹣c 8．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=14，a 1=2，则a 4=（ ） A ．16 B ．16或﹣1 6 C ．﹣54 D ．16或﹣54 9．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则的最小值是（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．5
10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） A ．130 B ．170 C ．210 D ．260
11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足acosA=bcosB ，那么△ABC 的形状一定是 （ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．等腰直角三角形
12．已知函数()21log 3x
f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，正实数a ，b ，c 是公差为正数的等差数列，且满足
()()()0f a f b f c <.若实数d 是方程()0f x =的一个解，那么下列三个判断：①d<a ；②d<b ；③d<c 中有可能成立的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．在ABC ∆中, 若2
1
cos ,3-==A a ,则ABC ∆的外接圆的半径为 _____. 14．在数列{a n }中，若a 1=1，a 2=，（n∈N *
），则该数列的通项a n = ．
15．已知向量
，若⊥，则16x
+4y 的最小值为 ．
16．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN=30°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°，已知山高BC=1000m ，则山高MN= m ．
三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）
17．已知实数x ，y 满足43
35251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z=2x+y 的最大值和最小值．
18．数列{a n }对任意n∈N *
，满足11n n a a +=+，32a =．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若13n
a n
b n ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，求{}n b 的通项公式及前n 项和n s ．
19．已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}
（1）求实数a，b的值；
（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．
20．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
21．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和（n∈N*），且a2=3，S4=16
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；
（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．
高二数学理科答案
一．选择题：
1．B 2．C 3．A 4．A 5．D 6．B 7．D 8．D 9．A 10．C 11．C 12．D 二．填空题:
13．3
14．
1
n
15．8 16．5003 三．解答题:
17．解：如图：作出可行域（6分） 目标函数：z=2x+y ，则y=﹣2x+z.
当目标函数的直线过点A 时，Z 有最大值． A 点坐标由方程组
解得
，
A （5，2）Z max =2x+y=12．（8分）
当目标函数的直线过点B （1，1）时，Z 有最小值Z min =2x+y=3．（10分）
故z=2x+y 的最大值和最小值分别为：12；3．
18．（1）由已知得11n n a a +-=数列{}n a 是等差数列,且公差d=1．
又32a =，得10a =，所以1n a n =-
（2）由（1）得，1
13n n b n -⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
，
所以()11
1111(11)(1)1123333n n n s n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
故()()11111333122213
n
n
n n n n n s -⎛⎫
- ⎪++-⎝⎭=+=+-．
19．解：（1）由题意可得，解得
，∴实数a ，b 的值分别为1，4；
（2）由（1）知f （x ）=+
∵0＜x ＜1，∴0＜1﹣x ＜1，∴＞0，
＞0，
∴f （x ）=+=（+）[x+（1﹣x ）]=5++≥5+2=9
当且仅当=即x=时，等号成立．∴f （x ）的最小值为9．
20．解：（1）由余弦定理可得：BC 2
=AB 2
+AC 2
﹣2AB •ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，
所以BC=．
（2）由正弦定理可得：，则sinC===，
∵AB＜BC，∴C为锐角，
则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=
21．解：（Ⅰ）设等差数列的公差是d，由已知条件得解得a1=1，d=2，∴a n=2n
﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，
∴T n=b1+b2+…+b n
===．
22．解：（1）∵．
∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；
（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，
在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即
7=，解得b=2，
∴△ABC的面积S=b2sinC==．
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