表示的图形
2、两者间的关系：点在曲线上
点的坐标适合于此曲线的方程
通俗地说：无点不是解且无解不是点 或说点不 比解多且解也不比点多
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点
集合的 观点
在曲线C上的充要条件 是
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
x02 +y02 = 25
两边开方取算术根，得
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个 圆上的一点.
由1、2可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆 的方程.
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
一定是这个方程的解
（2）、如果
是方程
在抛物线上
的解，那么以它为坐标的点一定
分析特例归纳定义
（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上 结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y
A
0
2x
分析特例归纳定义
定义 • 给定曲线C与二元方程f（x，y）=0， 若满足
• （1）曲线上的点坐标都是这个方程 的解
• （2）以这个方程的解为坐标的点都 y
是曲线上的点
f（x，y）=0
• 那么这个方程f（x，y）=0叫做这条
曲线C的方程
0
x
• 这条曲线C叫做这个方程的曲线
说明：1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线——反映的是数量关系所
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的 折线，方程为(x-y)(x+y)=0;
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方 程为x+ =0;
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，Y轴 的距离乘积为1的点集，方程为y= 。
y 1
-1 0
x 1
y
1 -2 -1 0 1 2 x
y
1 -2 -1 0 1 2 x
2.1.1《曲线与方程》
教学目标
• 理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的 概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数 形结合的意识．
• 教学重点：求曲线的方程 • 教学难点：掌握用直接法、代入法、交轨
法等求曲线方程的方法
分析特例归纳定义
曲线和方程之间有什么对应关系呢？
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
图3
例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆上.
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点 的距离等于5，所以
也就是xo2 +yo2 = 25.
即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解. (2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解，那么
例2证明：圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是
并判断
是否在圆上
变式训练：写出下列半圆的方程
y
y
5
5
y
y
5
5
y
5
·
0
5x
·
-5 0
5 x -5 0
5 x -5
x
5x
-5 -5
变式思维训练，深化理解
(1)举出一个方程与曲线，使 它们之间 的关系符合①而不符合②. (2)举出一个方程与曲线，使 它们之间 的关系符合② 而不符合① . (3) 举出一个方程与曲线，使 它们之间 的关系既符合①又符合②。
例子：(2)画出函数
y 8
(-1≤x≤2) 的图象C.
y 8
(-1≤x≤2)
-1符合条件②
-1 O
2
x
符合条件②不符合条件 ①
例子：(2)画出函数 C.
y
8
(-1≤x≤2)
(-1≤x≤2) 的图象
-1 O
2
x
符合条件①、 ②
下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗 ？如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？
第一、三象限角平分线
曲线
点的横坐标与纵坐标相等
条件
x=y（或x-y=0）
方程
y
得出关系：
x-y=0
0x
（1） 上点的坐标都是方程x-y=0的解 （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在上
分析特例归纳定义
（2）、函数
的图象是关于y轴对称的抛物线
这条抛物线的方程是
y
·M
满足关系： （1）、如果
0
x
是抛物线上的点，那么
第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明 点M (x0,y0)在曲线C上.
小结
• 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和 方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线 是方程的曲线时就意味着具备上述两个条 件，只有具备上述两个方面的要求，才能 将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化 为代数问题，以数助形正是解析几何的思 想，本节课正是这一思想的基础。