冲刺17年自主招生之 2016年曹杨二中自招数学试卷
1.
存在，可化简为___________.
【答】
【解析】由00a b ab ->，
≥ 00a b ⇒≤，≤， 原式
+=
=±
，题有问题
A.
B. -
C. D. -
2. 123kx k -=有1个整数解x ，正整数k 的个数有____________. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答】C
【解析】212312323kx k k k k k =+⇒+⇒⨯⇒∣
∣有()()12116++=个不同解.
3. 同一直角坐标系，y kx b =+（k b ，为实数，0k ≠）代表的直线有无数条，不论怎么抽，
都能得证其中两条过完全相同的象限，至少要抽____________. A. 5 B. 6 C.7 D. 8
【答】A
【解析】除了x 轴y 轴，其他直线至少过两个象限，取5条直线至少有3条非x 轴y 轴，总共四条象限，必有两条过同一象限，4条直线构造1010x x x y ===-=，，，不符合题意
.
4. []x 表示不超过x 的最大整数
. M N ==（x 为实数）. 当1x ≥时，M N 、的大小关系为__________.
A. M N >
B. M N
= C. M N < D. M N ≥
【答】D
【解析】设()221k k <+，()2211k k k M k ⇒<
+⇒<+≤≤，
而1k k <+，N k == N M ⇒≤，取1x =可使等号成立.
5. ABC △中，AB AC AD =，为高，AD BC AB AC +=+， ABC △周长为2，则ABC S △为_________.
A. 316
B. 38
C. 3
4 D.无法计算
【答】A
【解析】设2BC a AD h ==，
，224343a h ah h a h +=⇒=⇒=，
53
22238
a a a =+⨯⇒=，243316ABC S ah a ===△
6. 矩形ABCD 边AB 经过O ⊙圆心O E F ，、分别为AB DC 、与O ⊙交点，34AE AD ==，，5.DF =求O ⊙直径______________.=
【答】10
【解析】设OE r =，()2
22
3544205r r r r =+-+⇒=⇒=⇒直径为
7. 任意实数x y 、，定义2*xy
x y ax by
=
+（a b 、为常数），等式右端的计算是通常的四则运
算. 若1*212*32==，，则()2*1____________.-=
【答】2
【解析】41212223a b
a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
02a b ⇒==，
⇒原式2x ==.
8. 函数121y x x x =+++-∣∣+∣∣∣∣的最小值是______________. 【答】3
【解析】()()2112103y x x x x x =
++-+++--+=∣∣∣∣∣∣≥∣∣，1x =-时等号成立.
9. 实数x y 、满足2
245x x y --=，则2x y -的取值范围是___________.
【答】
9
22
x y -≤ 【解析】设2x y k -=，24250x x k -+-=，9
1682002
k k =-+⇒△≥≤
A
10. 二次函数()20y ax bx ab =+≠，当x 取()1212x x x x ≠、时，函数值相等. 当x 取()1212x x x x +≠时，函数值___________.y = 【答】0
【解析】对称轴121222x x b b x x a a +-
=⇒+=-，2
2
0b b y a a a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
.
11. 若2422
21021010a a b b ab +-=--=-≠，，，求2016
221ab b a ⎛⎫++ ⎪
⎝⎭
【答】1
【解析】由2
a b -、均为2210t t --=的两根，若这两根不同，则21a b -⋅=-矛盾；
2
a b ⇒-=，原式2016
2016
2121a a a a a a ⎛⎫--+-⎛⎫=== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
12. a b c ，
，是ABC △的三边，b a b c ≥，≥. 函数()()22y a b x cx a b =++--在1
2
x =-处取得最小值2
a
-，求ABC △三内角度数.
【答】606060︒︒︒、、
【解析】由题意()()()2
2
1224a b a y a b x a b x a b x -⎛⎫=++-=++++ ⎪⎝
⎭，
()24
b a
a b c a b a b c -⇒+==--⇒==， ABC ⇒△三内角度数均为60︒.
13. ABC △中，3046A AB AC P ∠=︒==，，，是AC 边上任一点，过P 作PD AB ∥，
()1若AP x PBD =，△面积S ，求出S 与x 的关系式. ()2 x 为何值时，S 有最大值？求出这个最大值.
【答】()12
6x S x =-+ ()06x ≤≤，()232
【解析】
()1 sin304662ABC S ︒
=⨯⨯=，()()2
222
66166666PDC ABP ABC ABC x x S S x x S S S ⎛⎫-- ⎪==⇒=--⨯ ⎪⎝⎭
，， 2
6x S x =-+ ()06x ≤≤，
()2
()2
13362S x =--+32
≤
A。