在点(0,0连续.由偏导数定义:
f x (0,0=li m
Δx →x
f (0+Δx,0-f (0,0
Δx
=
li m Δx →x Δx 2
Δx =1,Δx >0,-1,Δx <0.故f x (0,0不存在.同理可证f y (0,0也不存在.
1.2函数f (x,y在点P 0(x 0,y 0偏导存在,但不
f (x,y =li m
x →0y →0
|xy |=
0=f (0,0,故函数f (x,y =|xy |在点(0,0
连续;
(2因为Δf =f (0+Δx,0+Δy -f (0,0=|Δx ||Δy |
d f =f ′x (0,0d x +f ′
y (0,0d y =0
所以li m
ρ→0Δf -d f
ρ=li m Δx →0Δy →0
一定连续
例2函数f (x,y =
x 2
+y 2
,xy =0
1,xy ≠0
在点
(0,0处f x (0,0,f y (0,0存在,但不连续.
证明 由偏导数定义:
f x (0,0=li m Δx →x f (0+Δx,0-f (0,0
Δx
=li m Δx →x
Δx =0,
同理可求得f y (0,0=0.
因为li m
第23卷哈尔滨师范大学自然科学学报
Vol .23,No .22007
第2期
NAT URAL SC I E NCES JOURNAL OF HARB I N NOR MAL UN I V ERSI TY
讨论二元函数连续性、偏导存在性
及可微性间的关系
张 鸿
(哈尔滨师范大学阿城学院
门艳红
(青岛飞洋职业技术学院
x→0
(2x sin 1
2x2
-
1
x
cos
1
2x2
不存在,则f x(x,y在(0,0点间
断.同理可证f
y
(x,y在(0,0点间断.
(2因f x(0,0=li m
x→0
f(x,0-f(0,0
x
=li m
x→0
x sin
1
x2
=0,
f y(0,0=li m
x→0
f(0,y-f(0,0
y
=li m
y→0
y sin
1二元函数连续性与偏导存在性间
的关系
1.1函数f (x,y在点P 0(x 0,y 0连续,但偏
导不一定存在.
例1证明函数f (x,y =x 2
+y 2
在点(0,
0连续偏导存在.
证明 Байду номын сангаас为li m (
x,y →(0,0
f (x,y =
li m (x,y →(
0,0
x 2
+y
2
=0=f (0,0
故函数f (x,y =x 2+y 2
【摘要】 通过具体实例对二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系进行
讨论.
关键词:连续性;偏导存在性;可微性
收稿日期:2006-11-08
0引言
多元函数是一元函数的推广,因此它保留着一元函数的许多性质,但也有某些差异,这些差异
主要是由于多元函数的“多元”(即自变量由一个增加到多个而产生的.对于多元函数我们着重讨论二元函数,在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后,再将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系.
(
x,y →(
0,0
f (x,y =
li m
(x,y →(
0,0
(x 2+y 2
=0≠f (0,0=1
故函数f (x,y =
x 2
+y 2
,xy =0
1,xy ≠0
在点(0,0处
不连续.
综上可见,二元的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系.
2二元函数的可微性与偏导存在性间的关系
2.1可微与偏导存在
定理1(可微的必要条件 若二元函数f(x, y在其定义域内一点P0(x0,y0处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导都存在,且d f|
Δx→x f(0+Δx,0-f(0,0
Δx
=li m
Δx→x 0-0
Δx=
0,
同理可求得f
y
(0,0=0.
下面利用可微的定义来证明其不可微,用反证法.若函数f在原点可微,则Δf-d f=[f(0+
Δx,0+Δy-f(0,0]-[f
x (0,0d x+f
y
(0,
0d y]=
ΔxΔy
Δx2+Δy2
,应是较ρ=Δx2+Δy2的
高阶无穷小量,为此考察极限
li m ρ→0Δf-d f
ρ=
li m
ρ→0
ΔxΔy
Δx2+Δy2
当动点(x,y沿直线y=m x趋于(0,0时,则
li m (x,y→(0,0
xy x2+y2
=li m
(x,y→(0,0
y=m x
m
1+m2
=
m
1+m2
这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在.故函数f在原点不可微.
3二元函数的连续性与可微性间的
关系
类似于一元函数的连续性与可导性间的关
系,即二元函数f(x,y在点P
(x
,y0可微,则必
连续.反之不然.
例5证明函数f(x,y=|xy|在点(0, 0连续,但它在点(0,0不可微.
33
第2期 讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系
证明(1因为li m x →0y →0
(x0,y0
= f x(x0,y0d x+f y(x0,y0d y.
注1:定理1的逆命题不成立,即二元函数f(x,y在点P0(x0,y0处的偏导即使存在,也不一定可微.
例3
f(x,y=
xy
x2+y2
,x2+y2≠0, 0,x2+y2=0
在原点两个偏导存在,但不可微.
证明 由偏导数定义:
f x(0,0=li m
1
y2
=0
则d f=f
x
(0,0d x+f
y
(0,0d y=0,
Δf=f(x,y-f(0,0=(x2+y2sin1
x2+y2 =ρ2sin
1
ρ2
(Π(x,y:x2+y2≠0
从而
li m
ρ→0
Δf-d f
ρ=
li m
ρ→0
ρ2sin1
ρ2
ρ=
li m
ρ→0
ρsin1
ρ2
=0,即函数f(x,y在点(0,0可微.
2.2偏导连续与可微
定理2(可微的充分条件 若二元函数z=f(x,y的偏导在点P0(x0,y0的某邻域内存在,
且f
x
与f
y
在点P
(x
,y0处连续,则函数f(x,y
在点P
(x
,y0可微.
注2:偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.
例4证明函数
f(x,y=
(x2+y2sin
1
x2+y2
,x2+y2≠0
0,x2+y2=0
在点(0,0处可微,但f
x
(x,y,f
y
(x,y在(0,0点却间断.
证明Π(x,y:x2+y2≠0,有
f x(x,y=2x sin
1
x2+y2
-
2x
x2+y2
cos
1
x2+y2
f y(x,y=2y sin
1
x2+y2
-
2y
x2+y2
cos
1
x2+y2
(1当y=x时,极限li m
x→0
f x(x,x=li m