学号: 0901114208 函数一致连续性的研究学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别： 2009级(1)班姓名：贾珊指导教师：杨长森2013年4月函数一致连续性的研究摘要函数在区间上的一致连续性是数学分析课程中的重要理论之一,一致连续性刻画了函数在区间上的整体性质.准确理解函数一致连续概念以及掌握证明函数一致连续的方法是数学分析的一个重要内容.本文从以下几个方面对函数的一致连续性进行研究:由函数的连续性引入一致连续性概念,总结了一致连续的3个否定说法;讨论并证明了函数连续与一致连续的关系;用四种方法证明了有界闭区间上一致连续性定理,即Canto定理;概括总结了3种证明函数一致连续的方法;用连续数模描述函数一致连续性并得出函数一致连续的观察法;最后讨论了一致连续的延拓问题.关键词一致连续;否定说法; Canto定理;连续数模;延拓问题前言函数在区间上的一致连续性问题是数学分析中的典型问题之一,是函数在区间上逐点连续的加强,一致连续性刻画的是函数在区间上的一种整体形态;一致连续性的研究不仅可以加深我们对函数在区间上连续性的认识,而且可以培养我们从微观和宏观相结合的角度观察问题,发现问题,从而提高探究问题的能力[1];同时,函数的一致连续性是闭区间上连续函数黎曼可积的基础,而且与随后的参数积分,函数项积分等有着密切的关系.因此准确理解函数一致连续概念以及掌握证明函数一致连续的方法是数学分析的一个重要内容.一、一致连续性概念引入为了清楚的引出函数的一致连续概念,我们首先指出,函数f 在区间I 的连续概念可直接用-εδ“”语言叙述如下:设函数f 在区间I 上有定义,对()()0,0,(,),I x I f x f αααεδαδαε∀∈∀>∃>∈-< ，当时，有则称f在区间I 上连续[]2.在这个定义中,对于给定的0,ε>αδ是与点α有关的,点α不同所对应的αδ也可能不同.于是自然来考虑:对于I 中的所有点,是否存在一个公共适用的δ?事实上,对于不同的函数(包括函数的定义域不同)都可能有不同的情况的回答.例1.1 (1)在区间(0,1)上研究函数() 2.f x x =; (2)在区间(0,1)上研究函数()1g x x=; (3)对任意一个固定的0a >,在(),a +∞上研究函数()1g x x=. 解:(1)对于()001εα>∀∈及，, 由于()()()222,f x f x x x x ααααα-=-=+-<-所以要使()()f x f αε-<,只需取12δε=.则()0,1α∀∈,只要()(),0,1x αδ∈ ,便有()()22f x f x ααδε-<-<=. (2)对于()001εα>∀∈及，，由于()()111,g x g x x xαααα-=-=- 无论取()0,1δ∈多么小,对于点12x αδδ==及,虽然满足12x αδδ-=<,但却有()()11111g x g x x x ααααδ-=-=-=>, 这就是说,对于()1g x x=,在区间(0,1)上,公共的δ是不存在的. (3)对于()0,a εα>∀∈+∞及,由于()()21111g x g x x x x aααααα-=-=-<-， 所以要使()()g x g αε-<,只需取2a δε=.则对(),a α∀∈+∞,只要()(),,x a αδ∈+∞ ，便有()()22211g x g x a a a ααεε-<-<=. 针对如上情况,容易形成如下的概念:设函数f 在区间I 上有定义,如果0,0,εδ∀>∃>使得对I α∀∈,只要(),,x a I δ∈ 便有()()f x f αε-<,则称函数f 在区间I 上一致连续[2].在上述说法中的α与x 实际上处在同等任意的地位,于是就可以得到如下函数一致连续性的定义.二、一致连续性的定义2.1 函数一致连续性的定义定义1[2] 设函数f 在区间I 上有定义,如果0,0,εδ∀>∃>使当12,x x I ∈,12x x δ-<时,便有()()12f x f x ε-<,则称函数f 在区间I 上一致连续.定义2[3] 设函数f 在区间I 上有定义,如果极限()()1212120,lim0x x x x If x f x -→∈-=，则称()f x 在区间I 上一致连续.例2.1证明正弦函数在R 上一致连续. 证明：120,,x x R ε∀>∈由于,有1212121212sin sin 2cossin 2222x x x x x xx x x x +---=≤=-, 于是可取12,x x δεδ≤-<当时,便有1212sin sin x x x x δε-≤-<≤,所以sinx 在R 上一致连续.2.2函数一致连续的否定说法设函数()f x 在区间I 上有定义,如果存在00,ε>使得对任何0,δ>都存在1212,,x x I x x δ∈-<,使得()()120f x f x ε-≥,则称函数()f x 在区间I 上不一致连续[4].例2.2.1 试证函数()1sin f x x=在区间(]0,1上不一致连续. 证明:取012ε=,不论0δ>怎样小,我们取自然数01n δ>,于是对点1012x n π=及20122x n ππ=+,它们满足12000000011112222422222x x n n n n n n n ππδπππππππ-=-=<=<<⎛⎫++ ⎪⎝⎭,但是有()()120001sin 2sin 2122f x f x n n πππε⎛⎫-=-+=>= ⎪⎝⎭.所以f 在(]0,1上不一致连续.在上述函数一致连续的否定说法中置1,1,2,n nδ==…，则经过一些简单的证明,可得不一致连续另一个使用更方便的否定说法[2]:()f x 于I 上不一致连续⇔{}{}()00','','''0,n n n n x x I x x n ε∃>⊂-→→∞及数列使得()()0'''n nf x f x ε-≥. 例 2.2.2[5] 设()21sin 1x f x x x+=+,0a >为任一正常数,证明:()f x 在()0,a 内非一致连续.证明:取1'22n x n ππ=+,1''22n x n ππ=-()1,2,n =…,则n 充分大时,()',''0,n n x x a ∈且222'''044n n x x n πππ-=→-()n →∞.但是()()4141'''2212122n n n n f x f x n n ππππππππ++-+-=+>++-+,故f 在()0,a 内非一致连续.例2.2.3[11]设一元函数f 在区间I 上有定义,如果',''n n x x I ∃∈,n N ∈,'''0n n x x -→,但()()'''n n f x f x -不收敛于0()n →+∞,则f 在I 上不一致收敛.证明:(反证法)假设f 在I 上一致连续,则()0,0εδδε∀>∃=>,当','','''x x I x x δ∈-<时,()()'''f x f x ε-<.因为()'''0n n x x n -→→+∞，故∃正整数N ，当n N >时，'''n n x x δ-<, 从而有()()'''n n f x f x ε-<.由此就推得()()()'''0n n f x f x n -→→+∞,这与题设()()'''n n f x f x -不收敛于0()n →+∞相矛盾.三、一致连续与连续的关系如果f 在I 上一致连续,则f 在I 上连续;反之不真[4].证明:0,ε∀>因f 在I 上一致连续，故()0,','','''x x I x x δδεδ∃=>∈-<当时,有()()'''f x f x ε-<.对00,,x I x I x x δ∈∈-<当时,当然有()()0f x f x ε-<,这就证明了f 在0x I ∀∈处是连续的,即f 在I 上连续. 反之不真有反例:()1f x x =,显然()1f x x=是基本初等函数在(0,1)上连续,但是它在（0,1）上不一致连续.[证法1] 可取01,ε=对无论多么小的正数δ,不妨设102δ<<,取'x δ=与 ''2x δ=,则虽然有'''22x x δδδδ-=-=<,但()()011111'''21'''2f x f x x x εδδδ-=-=-=>>=, 所以()1f x x=在(0,1)上不一致连续. [证法2](反证)假设()1fx x=在(0,1)上一致连续, 对0ε∀>, ()0δδε∃=>,当()',''0,1x x ∈,'''x x δ-<时,有()()11''''''fx f x x x ε-=-<， 取定()''0,,x δ∈令'0x +→，得到ε+∞≤,矛盾.所以()1f x x=在(0,1)上不一致连续.四、一致连续性定理（Canto 定理）定理4.1 有界闭区间[a,b]上的连续函数必一致连续.证明:[证法1](反证,应用致密性定理)[9]若函数f 在[a,b]上不一致连续，则存在00ε>,对()[]1,','',,n n n n N x x a b nδ∀=∈∃∈满足1''',n n n x x n δ-<=但有()()0'''n n f x f x ε-≥.考虑数列{}'n x ,由致密性定理,存在收敛子列{}'kn x ,设[]()0',k n x x a b k →∈→∞，由1'''k k n n kx x n -<得 ()00''''''0k k k k n n n n x x x x x x k -≤-+-→→∞,因此{}''k n x 也收敛且()0''k n x x k →→∞.所以由函数f 在0x 点的连续性知:()()()()0000lim '''k k n n k f x f x f x f x ε→∞=-=-≥,矛盾.所以f 在[a,b]上一致连续.[证法2][2](反证法)如果f 在[a,b]上一致连续,则00ε∃>,()1n n N nδ∀=∈,诸[][]()()01,,,,n G a b a b f f n αβααβαε⎧⎫⎛⎫=∈∃∈+-≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭使非空.因n G 有下界a,故[]inf ,n n c G a b ∃=∈.由于1n n G G +⊂,故{}n c 递增且有上界b,所以存在[]lim ,n n c c a b →∞=∈.0,δ∀>取足够大的1121()2n n δδ><即,使 12n c c c δ-<≤;因为11inf n n c G =,故11111,,2n n n G c c δαα∃∈≤<+使所以有122c c δδα-<<+,又由11n G α∈知，[]11111,,a b n βαα⎛⎫∃∈+ ⎪⎝⎭ ,此时()()()11110,,,c f f αβδβαε∈-≥ 使,这与f 在c 点连续相矛盾,所以f 在[],a b 上一致连续.[证法3][6](应用有限覆盖定理）因为函数f 在[a,b]上连续,所以0,ε∀>对每一点[],x a b ∈,都存在0x δ>,使得当()';x x x δ∈ 时有 ()()'2f x f x ε-<; (4.1)考虑开区间集合[];,2x S x x a b δ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,显然S 是[a,b]的一个开覆盖.由有限覆盖定理，存在S 的一个有限子集;1,22i k i S U x i δ⎧⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭…，k 覆盖了[a,b].取1=min 2i kδδ≤≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭,于是对[]','',,''',x x a b x x δ∀∈-<'x 必属于k S 中某开区间,设';2i i x x δ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 即'2i i x x δ-<,此时有'''''222iiii i i x x x x x x δδδδδ-≤-+-<+≤+=,那么由公式(4.1)可得()()'2i f x f x ε-<和 ()()''2i f x f x ε-<.由上即可得()()'''f x f x ε-<.所以函数f 在[a,b]上一致连续.[证法4][7]对于0ε∀>,如果存在0δ>,使当[]12,,x x a t ∈且12x x δ-≤时，就有()()12fx fx ε-<,则称()f x 在区间[],a t 上具有性质P ε,记为[],f P a tε∈.令 []{}sup ,t f P a t εξ=∈,则(],a b ξ∈.因为()f x 在点ξ连续,故对此0ε>,存在1δ,使当[]1,x x a b ξδ-≤∈且时，就有()()2fx fεξ-<.因而当[][]1211,,,x x a b ξδξδ∈-+ 时,就有()()()()()()1212f x f x f x f f f x ξξε-≤-+-<, (4.2)由ξ定义知,存在0,2t δξξ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,使[]0,f P a t ε∈.故存在20δ>,使得当[]120,,x x a t ∈且122x x δ-<时就有()()12f x f x ε-< (4.3)令12min ,2δδδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,于是当[][]121,,,x x a a b ξδ∈+ 且12x x δ-<时或者[][]1211,,,x x a b ξδξδ∈-+ 或者[]120,,x x a t ∈或者二者兼有之.从而能由(4.2)式和(4.3)式得到()()12f x f x ε-< (4.4)即[],'f P a εξ∈,其中{}1'min ,b ξξδ=+.若b ξ<,则不妨设1b ξδ+≤,从而1'ξξδξ=+>,这时[],'f P a εξ∈与ξ定义矛盾,故必有=b ξ.这时有[],f P a b ε∈,即0δ∃>,使得当[]12,,x x a b ∈且 12x x δ-<时,(4.4)式成立.再由0ε>的任意性即知()f x [a,b]上一致连续.五、证明一致连续的方法5.1方法1要证明一个函数()f x 在某一有界开区间I 上一致连续,只要证明两端点处的极限存在且在该区间上连续.因为此时可以补充两端点的函数值,把()f x 变为有界闭区间上的连续函数,从而一致连续,故在其子区间I 上一致连续.5.2方法2要证明在形如[),a +∞上连续函数()f x 的一致连续性,往往先将[),a +∞分成两个交叉区间[],1a N +和[],N +∞来考虑.对[],1a N +,利用有界闭区间上连续函数的一致连续性,存在10δ>,使得当[]','',1x x a N ∈+且1'''x x δ-<时有()()'''fx f x ε-<.若在[],N +∞也能有20δ>,使得当[)','',x x N ∈+∞且2'''x x δ-<时有()()'''f x f x ε-<.那么令{}12min ,,1δδδ=，就可得知()f x 在[),a +∞上的一致连续性.事实上，对任意0ε>,当'''x x δ-<时，要么[]','',1x x a N ∈+，要么[)','',x x N ∈+∞，故总有()()'''f x f x ε-<成立.例 5.2.1(1)若()f x 在[),a +∞连续,且()lim x f x A →+∞=有限,则()f x 在[),a +∞上一致连续;(2)若()f x 在(),-∞+∞连续,且()()lim ,lim x x f x A f x B →-∞→+∞==均有限,则()f x 在[),a +∞上一致连续.证明:(1)由()lim x f x A →+∞=的柯西准则,对任意0ε>,存在自然数0N >,当',''x x N ≥,有()()'''fx f x ε-<;又因为()f x 在[],1a N +连续,从而一致连续,故对上述0ε>,存在10δ>,当[]','',1x x a N ∈+且1'''x x δ-<时有()()'''f x f x ε-<;现取{}1min 1,δδ=,则对任意的',''x x a >且'''x x δ-<,要么[]','',1x x a N ∈+,要么[)','',x x N ∈+∞,故总有()()'''f x f x ε-<成立.所以()f x 在[),a +∞上一致连续.(2)由上述(1)的证明可知,()f x 在(),2-∞及()1,+∞上均一致连续,因此分别存在12,0δδ>,使当()','',2x x ∈-∞且1'''x x δ-<或()',''1,x x ∈+∞且2'''x x δ-<时,都有()()'''f x f x ε-<.令{}12min 1,,δδδ=,则对任意的()','',x x ∈-∞+∞且'''x x δ-<,要么()','',2x x ∈-∞,要么()',''1,x x ∈+∞,故总有()()'''f x f x ε-<成立.所以()f x 在(),-∞+∞上一致连续.例5.2.2 [4]设f 是(),-∞+∞上连续的周期函数,则f 在(),-∞+∞上一致连续.证明:设f 的周期为T,不妨设T>0.[证法1]因为f 是以T 为周期的连续函数,由闭区间上的一致连续性定理知:10,0εδ∀>∃>, 当()','',1,x x kT k T k Z ∈+∈⎡⎤⎣⎦时,()()'''f x f x ε-<;2,0kT δ∀∃>,当2x kT δ-<时,有()()2f x f kT ε-<.于是,()22','',x x kT kT δδ∀∈-+,()()()()()()''''''22f x f x f x f kT f x f kT εεε-≤-+-<+=. (5.1)令{}12min ,,T δδδ=,则当()','',,''','''x x x x x x δ∈-∞+∞≤-<时,有下面结论:(1)()','',1x x kT k T ∈+⎡⎤⎣⎦,则()()'''f x f x ε-<； (2)()()'1,,'',1x k T kT x kT k T ∈-∈+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,则2''''x kT x x δδ-≤-<≤, 2'''''x kT x x δδ-≤-<≤,因此由(5.1)式可得()()'''f x f x ε-<.综上所述,就证明了f 在(),-∞+∞上是一致连续的.[证法2] 由于f 在[]0.2T 内连续,根据闭区间上的一致连续定理知: f 在[]0.2T 上一致连续,即[]10,0,',''0,2x x T εδ∀>∃>∀∈,当1'''x x δ-<时,()()'''f x f x ε-<.取{}1min ,T δδ=,对一切()','',,''',x x x x ∈-∞+∞<且'''x x δ-<时,必有整数n 使得[]00'','0,x nT x x T =+∈;又由于T δ≤,所以[]00'''',''0,2x nT x x T =+∈.于是()()00'''''''''x x x nT x nT x x δ-=---=-<,故()()'''f x f x ε-<.这就证明了f 在(),-∞+∞上是一致连续的.5.4方法3证明一致连续时,常常估计()()'''f x f x -的大小,可利用中值定理,三角函数和差化积,及其它常用不等式证明Lipschitz 条件成立.例 5.3.1[4]设函数f 为I 上的一元函数,它满足Lipschitz 条件,即',''x x X ∀∈,有()()''''''f x f x M x x -≤-,其中M 为常数,则f 在I 上一致连续.证明:0ε∀>,取0,1M εδ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭,当',''x x X ∈,且'''x x δ-<时,()()''''''.1f x f x M x x M M M εδε-≤-≤<<+,因此,f 在I 上一致连续.例5.3.2 设01a <<,证明:()1sinf x x=在(),1a 上一致连续. 证明:0ε∀>,取2a δε=,则当()12,,1x x a ∈,且12x x δ-<时()()12121212122122121212111111sin sin 2cos .sin 2211111112sin 2x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x a aδε+--=-=-⎛⎫≤-≤-=<-<= ⎪⎝⎭,所以()1sinf x x=在(),1a 上一致连续. 六、用连续模数描述一致连续性6.1连续数模的定义[5]若()f x 在区间I 上有定义,则()()()','''''sup '''f x x I x x f x f x δωδ∈-<=-称为函数f 的连续数模,可见()f ωδ是关于δ的非负,不减函数.例6.1.1若()f x 在区间I 上有定义,则()f x 在I 上一致连续的充要条件是()0lim 0f δωδ+→=.证明:(1)必要性:因为()f x 在I 上一致连续,故10,0εδ∀>∃>,当1','','''x x I x x δ∈-<时有()()'''2f x f x ε-<.从而,()()()11','''''sup'''2f x x I x x f x f x δεωδ∈-<=-≤，故10δδ<<时,()()102f εωδωδε≤≤≤<.所以()0lim 0f δωδ+→=.(2)充分性:由()0lim 0f δωδ+→=知：10,0εδ∀>∃>使得()10f ωδε≤<,故当1','','''x x I x x δ∈-<有()()()()()11',''''''''sup '''f x x I x x f x f x f x f x δωδε∈-<-≤-=<.所以f 在I 上一致连续. 6.2函数一致连续的观察法由上述结论可得函数一致连续的观察法[10]:因为()f ωδ的值只与f 的图形最陡的地方有关.若f 的图形在某处无限变陡,使得()f ωδ不趋近于0()0δ→,则f 非一致连续.若f 在某处最陡,但0δ+→时,此处的变差()()'''0f x f x -→,则f 一致连续.例6.2.1 ()1f x x=()0x >,在0x =处,图形无限变陡; ()0,f δωδ∀>=+∞,0δ+→时()f ωδ不趋近于0.因此f 在()()0,0c c >上都是非一致连续的.但在区间[),c +∞上,()1f x x =在点c 处最陡,且 ()()1100f cc ωδδδ+=-→→+， 可见f 在[),c +∞上一致连续.七、一致连续函数的延拓问题定理[4]f 在(),a b 上一致连续⇔f 可延拓为[],a b 上的连续函数 ()(),,a b a b ff=.证明:(1)充分性:设f 可延拓为[],a b 上的连续函数 f ,由有界闭区间上的一致连续性定理可知, f 在[],a b 上一致连续,而()(),,a b a b f f=,因此f 在(),a b 上一致连续.(2)必要性:因为f 在(),a b 上一致连续,所以对()0,0εδδε∀>∃=>,当()','',x x a b ∈,'''x x δ-<时,()()'''f x f x ε-<.任取(),n x a b ∈,n x a +→,则{}n x 为柯西数列.因此,存在正整数N,当,m n N >时,n m x x δ-<,从而有()()n m f x f x ε-<,这就证明了(){}n f x 收敛.()',''n n x x a n +∀→→+∞,显然有1122''':','',','',','',n n n x x x x x x x a +→…，…,由上证得(){}'''n f x 收敛,并且()()()lim 'lim '''lim ''n n n n n n f x f x f x →+∞→+∞→+∞==,这就证明了n x a +∀→,(){}n f x 收敛于同一数,故()lim x af x +→存在有限.同理可证()lim x b f x -→存在有限.令()()()(),,,,,.f a x a f x f x a x b f b x b +-⎧=⎪⎪=<<⎨⎪=⎪⎩显然 f 为[],a b 上的连续函数，且为f 的延拓.参考文献[1]王云花,张智倍.函数一致连续性概念的几点注记[J].高师理科学刊,2011,31(4):1-2.[2]季乐刚.数学分析[M].上海:华东师范大学出版社,2001,123-127.[3]欧阳光中,姚允龙,周源.数学分析(上册)[M].上海:复旦大学大学出版社,2002,107-108.[4]徐森林,薛春华.数学分析(第一册)[M].北京:清华大学出版社,2005,141-147.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006,148-156.[6]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001,171.[7]李成章,黄玉民.数学分析(上册)[M].北京:科学出版社,2004,76-77.[8]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2009,118-119.[9]D.M.Bloom.A Pictorial Proof of Uniform Continuity [J].The American mathematical monthly,1989,96(3):250-251.[10]Frdric Dambreville.Ordered DSmt and its Application to the Definition of Continuous DSm Models[J].Information &Security:An International Joural,2006,26(20):85-103.[11]qin Kaihuai,Wang Huawei.Continuity of non-uniform recursive subdivision surfaces[J].Science in China,Series E,2000,43（5）：461-472.致谢在本次论文的准备和写作过程,非常感谢我的指导教师杨长森教授给我悉心的指导和热情的帮助.在校学习期间,杨教授就带过我们复变函数和数学分析选讲的课程,其渊博的知识,开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪;特别是老师非常善于解决数学难题,其解题方法独特,高雅,深入,多变,让我对数学产生了浓厚的兴趣;老师渊博的知识,严谨的治学态度,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严以律己,宽以待人的崇高风范,朴实无华,平易近人的人格魅力对我影响深远.此次毕业论文写作的每个阶段,从选题到查阅资料,论文提纲的确定,中期论文的修改,后期论文格式调整等各个环节,杨老师都给了我细致的指导,提出了许多宝贵的甚至让我受益终生的意见和建议;这些天以来,杨老师不仅在学业上给精心指导,并且还在思想上给我以无微不至的关怀,再次谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.此外,本文最终得以顺利完成,也是与数学院其他老师的帮助分不开的.虽然他们没有直接参与我的论文指导,但在本科学习期间,各位老师们一丝不苟,严谨求实的态度,脚踏实地的精神深深打动了我,他们不仅为我传道授业,而且教我做人,虽历时四载,却给以终身受益无穷之道.我对各位老师们的感激之情是无法用言语来表达的.在此,我要向诸位老师深深地鞠上一躬!谢谢各位老师!贾珊 2013年4月于河南师范大学。