浅谈函数的一致连续性的性质张亚男,数学计算机科学学院摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性质进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。

其次给出了一致连续函数的有界性质。

再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。

最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。

在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。

关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界;Discusses the properties of the uniform continuity functionName：zhang ya nan Number：0707216College：College of Mathematics and Computer ScienceAbstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given.Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;一引言函数的一致连续性是学习数学分析的一个重点,更是一个难点.之前在学习函数的一致连续性时就觉得比较抽象难以理解,借此机会我探讨了函数一致连续性的若干性质，希望对后来者学习函数的一致连续性时有所帮助.二基本概念定义1（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ∀>∃>,使得12,x x X ∀∈,只要12x x δ-<,就有12()()f x f x ε-<,则称()f x 在X 上一致连续.定义2（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ∀>∃>,使得0x X ∀∈,只要0x x δ-<，就有0()()f x f x ε-<,.则称()f x 在X 上一致连续.定义3（非一致连续）设()f x 在区间X 有连续,若00,0εδ∀>∃>,总存在,x x X '''∈,使得虽有x x δ'''-<,但0()()f x f x ε'''-≥,,则称()f x 在X 上非一致连续. 定义4（（非一致连续））设在区间X 上,有()f x 连续,若0120,,(1,2...)n n x x X n ε∃>∃∈=,使得虽有120n n n x x →∞-−−−→,但120()()n n f x f x ε-≥则称()f x 在X 上非一致连续.定理（Cantor 定理）有界闭区间[],a b 上的连续函数()f x 必在[],a b 上一致连续.例1:用定义证明()f x =[)1,+∞上是一致连续的.证明:由于[),1,x x '''∀∈+∞,2x x '''-=≤,于是0ε∀>,取2δε=,当[),1,x x '''∈+∞且x x δ'''-<时,ε<,所以()f x =[)1,+∞上是一致连续的.例2:用定义证明1()sin f x x=在()0,1内非一致连续,但0c ∀>,其在(),1c 内一致连续.证明对012ε=,取()120111,,,,1,2 (2222)k k x x k k k επππ====+则()12,0,1k k x x ∈,且120,0k k k k x x ++→+∞→+∞−−−→−−−→,有120k k k x x →+∞-−−−→但1201()()12k k f x f x ε-=>=.所以1()sin f x x =在()0,1内非一致连续.0,0c ε∀>∀>,只要取()2120,,0,1c x x δε=>∀∈,当12x x δ-<时,就有1212122121211()()sin sin x x x x f x f x x x x x c ε---=-≤≤<故1()sin f x x =在(),1c 内一致连续.说明:当0x +→时,1sin x连续的无限振荡于[]1,1-上,故存在00ε>与点列对{}{}12,k k x x ,使120,0k k x x ++→→, (故有120k k k x x →+∞-−−−→),而120()()0k k f x f x ε-≥>;但0c ∀>,在(),1c 内考虑时,上述性质不存在,在证明中可以看出,1()sin f x x =在(),1c 内一致连续.,对给定的0ε>,所求得的(,)0c δδε=>,即0δ>不仅与ε有关,而且与0c >有关.特别是0(,)0c c δε++→−−−→.正因为这样,给定的0ε>,不可能找到对()0,1公用的0δ>.这就是该函数在()0,1内非一致连续的原因.三函数一直连续性的有界性定理1（有界性定理）若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界. 下面讨论当()f x 在开区间(),a b 上一致连续时,是否有()f x 在(),a b 上有界. 分两种情况讨论：1当(),a b 为有限区间时,有()f x 在(),a b 上有界.证法1：由()f x 在(),a b 上一直连续,可知0,0εδ∀>∃>,当(),,x x a b '''∈，x x δ'''-<时,有()()f x f x ε'''-<,故(),,x x a b '''∀∈,,a x a a x a δδ'''<<+<<+时,有()()f x f x ε'''-<,从而由柯西收敛准则知lim ()x af x +→存在（有限），同理可证lim ()x b f x -→存在（有限）,进而可补充定义令()lim (),()lim ()x a x bf a f x f b f x +-→→==,则()f x 在[],a b 上连续,由定理1知()f x 在[],a b 上有界,进而()f x 在(),a b 上有界.证法2:因为函数()f x 在(),a b 上一致连续,所以对10>,存在00δ>,当(),,x x a b '''∈且0x x δ'''-<时,()()1f x f x '''-<.取定N 充分大将(),a b N 等分,使每个小区间长度小于0δ.令1231(),(),()...()N M f f f f N N N N ⎧-⎫=⎨⎬⎩⎭,由前面讨论可知,对任意(),x a b ∈,存在,11i i N ≤≤-,满足0i x Nδ-<,此时一定有()()()()1i i f x f x f f M N N≤-+<+,这就证明了()f x 在(),a b 上是有界的. 2当(),a b 为无限限区间时,不能推出()f x 在(),a b 上有界.反例：()f x x =在区间()0,+∞上是一致连续的,但是无界的.证明：0,εδε∀>∃=当(),0,,x x x x δ''''''∈+∞-<,就有()()f x f x x x δε''''''-=-<=,从而()f x 在()0,+∞上一致连续，但显然()f x 在()0,+∞上是无界的.例:证明无界函数()sin f x x x =+在(),-∞+∞上一致连续.证明:由于()()()(sin sin )sin sin f x f x x x x x x x x x '''''''''''''''-=-+-≤-+-2cos sin 222x x x x x x x x ''''''+-''''''≤-+≤-,于是0ε∀>,取2εδ=,当(),,x x '''∀∈-∞+∞且x x δ'''-<时,皆有()()f x f x ε'''-<,由,x x '''的任意性,知()f x 在(),-∞+∞上一致连续.说明：这是由于当(),a b 为无限区间时,不妨设为()0,+∞,则当柯西收敛准则条件为：,A ε∀∃当,x x A '''>时()()f x f x ε'''-<,而题中()f x 在()0,+∞上一直连续只能保证对一定的间距δ,当x x δ'''-<时,才有()()f x f x ε'''-<,不能保证柯西收敛准则成立.四函数一致连续的四则运算性质我们探讨当函数(),()f x g x 均在区间I 上一致连续()()f x g x +,()()f x g x - ,()()f x g x ⋅ ,()()f x g x （()g x 在I 上不为零）,在I 上是否也一致连续.1加法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有()()f x g x +在I 上是否也一致连续.证明：由()f x 在I 上一致连续,可知10,0εδ∀>∃>,当1x x δ'''-<时,有()()2f x f x ε'''-<,又由()g x 也在I 上一致连续知，对上述的ε存在2δ,当2x x δ'''-<时()()2g x g x ε'''-<,取{}12min ,δδδ=则当x x δ'''-<时,有()()()()()()()()()22f x g x f x g x f x f x g x g x εεε''''''''''''+-+≤-+-=+=.从而()()f x g x +在I 上一致连续. 2.减法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有()()f x g x -在I 上是否也一致连续.说明：函数一致连续性的减法与加法的证明方法完全相同.3.乘法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论()()f x g x ⋅在I 上的一致连续性. a.当区间I 为有限区间（无论开闭）时,有()()f x g x ⋅在I 上是一致连续的. 证明：由(),()f x g x 在区间I 上是一致连续的,则(),()f x g x 在I 上都是有界的（I 为开区间时即为本文的第二部分结论,I 为闭区间是显然成立）.从而存在0,0M L >>使得(),(),f x L g x M x I ≤≤∈,且有10,εδ∀>∃,当1,,x x I x x δ''''''∈-<时有()()2f x f x M ε'''-<,对上述ε,存在2δ,当2,,x x I x x δ''''''∈-<时有()()2g x g x L ε'''-<,取{}12min ,δδδ=,于是当,,x x I x x δ''''''∈-<时()()()()f x g x f x g x ''''''⋅-⋅=()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x ''''''''''''⋅-⋅+⋅-⋅()()()()()()22f x f x g x g x g x f x M L M L εεε'''''''''<-⋅+-⋅<⋅+⋅=所以()()f x g x ⋅在有限区间I 上是一致连续的.b.当I 为无限区间,不能推出()()f x g x ⋅在I 上是一致连续的.反例1取()(),(),,f x x g x x I ===-∞+∞,则()()f x g x ⋅在I 上不是一致连续的.证明：.不妨令()()()h x f x g x =⋅取两个点列：1,,()n n x n x n n N n+'''=+=∈则有1n n x x n δ'''-=<,这只需1Nδ=,当n N >就可办到,给定01ε=有220211()()()2h x h x n n n nε'''-=+-=+>,可见()()()h x f x g x =⋅在(),-∞+∞上不一致连续.反例2.取,()(),()sin ,0,f x x g x x I ===+∞ ,则()()f x g x ⋅在I 上不是一致连续的.证明：.不妨令()()()h x f x g x =⋅考虑两点列：12,2()n n x n x n n N nππ+'''=+=∈,虽有1n n x x nδ'''-=<,但是11111()()(2)sin 02sin sin n n h x h x n n n n n n n ππ'''-=+⋅-=⋅+⋅ 2102ππ→⋅+=, ()1,02n n π→+∞<<,现取021,0N επ=-∃>,不论0δ>多么小(可取11N δ=+),当n N >时,虽有1111n n x x n N N δ'''-=<<=+,但是0()()21nn h x h x πε'''->-=,所以()()()h x f x g x =⋅在I 上不是一致连续的. 4.除法：当函数(),()f x g x 均在区间I(不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论()()f x g x （()g x 在I 上不为零）在I 上的一致连续性.a.当I 为有限闭区间是,有()()f x g x 在I 上的一致连续性.证明：由()g x 在闭区间I 上是一致连续的且()g x 在I 上不为零,则()g x 在I 上有最小值，即存在10M >使1()g x M >,又有0,0εδ∀>∃>，当,x x I '''∈,且x x δ'''-<时有21()()g x g x M ε'''-<⋅.从而21()()()()11()()()()g x g x g x g x g x g x g x g x M ε''''''---=<<''''''⋅,故1()g x 在I 上是一致连续的,进而由函数一致连续性的乘法性质知()()f x g x 在有限闭区间I 上是一致连续的.b.当I 不为有限闭区间时，不能推出()()f x g x 在I 上是一致连续的.反例:取()()12()1,(),0,1,0,f x g x x X X ====+∞,()1()f x g x x = ,在区间12,X X 上不是一致连续的.证明：取01ε=,对无论多么小的正整数1()2δδ<,只要取,2x x δδ'''==,则虽有2x x δδ'''-=<但1111x x δ-=>''',所以()1()f x g x x=在()0,1内不一致连续. 同理可证()1()f x g x x=在()0,+∞也不一致连续 五同一函数在区间上的一致连续性我们探讨当函数()f x 分别在区间12,X X 上一致连续,且区间1X 的右端点为1c X ∈,区间2X 的左端点也为2c X ∈（12,X X 可分别为有限或无限区间）,()f x 在区间12X X X =上的一致连续性.结论：当函数()f x 分别在区间12,X X ,上一致连续,则()f x 在区间12X X X =上是一致连续的.证明:任给0ε>,由()f x 在1X 和2X 上的一致连续性,分别存在正数,1δ和2δ,使得对任何1,x x X '''∈,只要1x x δ'''-<,就有()()f x f x ε'''-<;又对任何2,x x X '''∈,只要2x x δ'''-<,也有()()f x f x ε'''-<成立.点c 作为1X 的右端点,()f x 在点c 为左连续,作为2X 的左端点,()f x 在点c 为右连续.故对上述的0ε>存在30δ>,当3x c δ-<时有()()2f x f c ε-<.令{}123min ,,δδδδ=,对任何,x x X '''∈,x x δ'''-< ,分别讨论以下两种情形:（i ）,x x '''同时属于1X 或同时属于2X ,则()()f x f x ε'''-<成立.（ii ）,x x '''分别属于1X 与2X ,设12,x X x X '''∈∈则x c c x x x '''''-=-<-3δδ<< 故由()()2f x f c ε-<得()()2f x f c ε'-<.同理得()()2f x f c ε''-<.从而也有()()f x f x ε'''-<成立.这就证明了()f x 在区间12X X X =上是一致连续的. 例:证明函数sin ()x f x x=在每个区间()()121,0,0,1X X =-=,内一致连续.但在()()121,00,1X X X ==-非一致连续.证明:先证()f x 在()11,0X =-内一致连续,由于()sin sin (),1,0x x f x x x x ==-∈-所以()f x 在()1,0-内连续.构造新函数,令()1,0()(),1,0sin1,1x F x f x x x -=⎧⎪=∈-⎨⎪-=-⎩,则()F x 在[]1,0-上连续,即证()f x 在()1,0-内一致连续.类似可证()f x 在()0,1内一致连续.,只需构造()1,0()(),0,1sin1,1x G x f x x x =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩.最后证明()f x 在()()121,00,1X X X ==-内非一致连续.由于()()sin ,1,0()sin ,0,1x x x f x x x x⎧-∈-⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩再由于0sin lim 1x x x →=，由函数极限的性质知存在1,εδ=∀,都存在()1120,2x X X δ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使11sin 0.5x x >.令11,x x x x '==-,那么12,x x X X '∈,且x x δ'-<而()111111sin sin sin ()()21x x x f x f x x x x -'-=-=>-故()f x 在()()121,00,1X X X ==-内非一致连续.六 参考文献[1]《数学分析》（下册）[M]华东师范大学数学系编 高等教育出版社[2]《数学分析中的典型问题和方法》[M] 裴礼文 高等教育出版社 2010,3[3]《数学分析题解精粹》[M] 钱吉林 崇文书局 2010.4[4]《吉米多维奇数学分析习题集选集》（上）[M] 黄光谷黄川蔡晓英李杨华中科技大学出版社[5]《数学分析例题解析及难点注释》（一元函数部分）[M] 李惜文西安交通大学出版社。