1第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分）（本小题5分）3求极限 lim 一3x -x 22x 3 （本小题5分）求 X 2 2 dx. （1 x ）（本小题5分）（本小题5分）设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6所确定，求鱼.dx（本小题5分） 求函数y 2e x e x的极值（本小题5分） 2 2 2 2求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」x （10x 1）（11x 1）（本小题5分）cos2xd x. sin xcosx二、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分）3 . ----------求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2x（本小题5分）1、2、3、4、5、6、7、 8、 9、 10、 11、12、 13、14、15、16、x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos4sin t), 求 dx .12x 169x 2 12x.1 arcsin x求极限 limarctan xx（本小题5分） 求—^dx.1 x（本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0（本小题5分） 求 cot 6 x esc 4xdx.（本小题5分） 求-11 ,求 cos dx.x x5分）［曲2确定了函数y esint5分）（本小题设xy （本小y(x),求乎dx（本大题6分）设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根一学期期末高数考试（答案）、解答下列各题（本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分）lim 」^ x 212x 182、（本小题3分）(121d(1 x ) 2 (1 x 2)21 12 1 x 23、（本小题3分）故 limarctanx4、（本小题3分）dxdx」 dx dx1 xx In 1 x c.5、 (本小题3分)原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分).64cot x csc xdxcot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x)1、（本小题7分）某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分）2求由曲线y -和y2三、解答下列各题，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省•3—所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8沿， 体积.解:原式lim x 26x 3x 2~ 212 18x 12 c.因为 arctanx—而 limarcsin 2 x.1x arcs inx7、 1.7cot x 7 (本小题8、 9、原式 （本小题 解: 1cot 9 x c.91 cos — d (—) - x x .1 sin —x 1 4分) dy dx 4分) x 2原式 2 1 (u （本小题 令,1 e 2t (2 s int cost)~t 2 2~ e (cost2tsin t ) e t (2sint cost)2 2~ (cost 2t sin t ) 4 u 2）du 5 3 2（U U）2（亍T ）11615 10、（本小题5分） 函数定义域（，y当x 当x 当x 1, 1,1, ） 2x 2（1 x ）y o y 0函数单调增区间为 y 0函数的单调减区间为1,,111、（本小题5分） 原式 2 d cosx 09 cos 2 x 1 3 cosxln ---------- 6 3 cosx 1ln 26 6分） （t ）dt （4 6分） 业 y3yx 5y y 2 114、（本小题6分）定义域（12、 （本小题dx xkt e 13、 （本小题 2yy3k)cos t (4k 3 )sin t dt6x 5x 2xy 2e (e）,且连续丄）2驻点： x 3n 丄2 2 由于y X2e Xae1 i sin2x1In 1 -si n2x c2二、解答下列各题（本大题共2小题，总计13分） 1、（本小题5分）设晒谷场宽为X,则长为512米,新砌石条围沿的总长为X（X 0）唯一驻点 X 16 即X 16为极小值点故晒谷场宽为16米,长为5-— 1632米时,可使新砌石条围沿所用材料最省2、（本小题8分）3X c2,8x 82（X-）2V x(142x 3X10, x 1 4.dx4(7 64)dX1 5 X 5414仃三、解答下列各题（本大题10分）证明:f （x ）在（1 641 7 1X )512 35）连续,可导,从而在[0,3];连续，可导.15、（本小题8分)1 2 1 2 ,亠 1 2(-)(2 -) (3 -) 原式 lim 一XX XX1 1 (10 -)(11 -)X X10 11 216 10 117216、（本小10分)解：匚cos2xdxcos2x ——dx1 sin xcosx1 ；sin2xd (丄 si n2x 1)225121024故函数有极小值,,y （~1 In -2） 2 2X又 f (0) f (1) f (2) f (3) 0则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得，至少存在1(0,1), 2 (1,2), 3(2,3)使f (1) f ( 2) f ( 3)即f (x)0至少有三个实根，又f (x)0,是三次方程,它至多有三个实根,由上述f (x)有且仅有三个实根参考答案。

填空题(每小题 3分，本题共15分)三. 计算题(本题共 56分，每小题7分)15、解:矽IZ 丄dx 2t 2t1 t 21 t1 t2 4t6、解：2 si n(? 3)dxx x1 2 2厂％3)d(-3)12 cos( 3) C 2 x7、 解:e x cos xdxcosxde x1、2、k =1x3、-1 x4、y 15、f (x) 2cos2x•单项选择题(每小题 3分，本题共15分) 1、 D 2、 B4、B5、A1•解:.4 x 2 sin 2xlim . ----- x 0sin2x( ,4 x 2)丄lim2x2 x 0sin 2x( J4 x 2)3、解:4、解:1/Vxmocosxe t dtlim cos 2 xsin xe 1 x 0 2x2eXe-xe叫21由F （0） 0，在［0,xj 上应用罗尔定理知，至少存在一点XXXxe cosxe sinxdxe cosx sin xdexxxe cosx e sin x e cosxdxe x (sin x cosx) C解：曲线y x 4与xy 2的交点为（1, 1）,A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为:iV ( ... y)2 y 4 dy五、证明题（本题 7分） 证明：设 F(x) f(x) x ,1 1显然F （x ）在［一,1］上连续，在（一,1）内可导，2 21 1且F （J ;，F （1） 1 0.42 1 &解： f (x 1)dx f (x)dx1f (x)dx1f(x)dx …0 dx 1 dx 11 e x 01 x1(1xe1-——)dx ln(1 x)。

1 e 01 ln(1e x) 1 In 211 In(1 e ) ln(1 e)四. 应用题（本题7分）于是曲线y x 2与x2y 所围成图形的面积 A 为dx2X3_2X2一31O2X/ y_325 0102 2(0,x1) ( 0,1) ，使F ( ) f ( ) 1 0，即f ( ) 1（本小题5分）求函数y 4 2x（本小题5分）1由零点定理知存在x1［ ,1］，使F （为）0.。