习 题 四 解 答1、设010,1x x ==，写出()x f x e -=的一次插值多项式1()L x ，并估计插值误差。

设插值函数为1()L x ax b =+，由插值条件，建立线性方程组为1011a b a b e -⨯+=⎧⎨⨯+=⎩ 解之得111a e b -⎧=-⎨=⎩则11()(1)1L x e x -=-+ 因为(),()x x y x e y x e --'''=-= 所以，插值余项为(1)(2)(2)011()()()()()(1)!1()()2!1()()()2!1(0)(1)((0,1))2n r x f x p x f x n f x f x x x x e x x ξξπξπξξ+-=-=+==--=--∈所以010101()max max (1)2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤-=⨯⨯=。

2选用合适的三次插值多项式来近似计算f 和f 。

解：设三次插值多项式为230123()f x a a x a x a x =+++，由插值条件，建立方程组为230123230123230123230123(0.1)(0.1)(0.1)0.9950.30.30.30.9950.70.70.70.7651.1 1.1 1.10.454a a a a a a a a a a a a a a a a ⎧+⨯-+⨯-+⨯-=⎪+⨯+⨯+⨯=⎪⎨+⨯+⨯+⨯=⎪⎪+⨯+⨯+⨯=⎩即012301230123123012312301230.10.010.0010.9950.10.010.0010.9950.30.090.0270.9950.40.080.02800.70.490.3430.7650.80.480.344 1.761.1 1.21 1.3310.454a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=-+-=⎧⎪+++=++=⎪⇒⎨+++=++=⎪⎪+++=⎩12301231232330.40.720.9880.3110.10.010.0010.9950.40.080.02800.320.288 1.760.384 3.831a a a a a a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪++=-⎩-+-=⎧⎪++=⎪⇒⎨+=⎪⎪-=-⎩解之得 01230.416.293.489.98a a a a =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩ 则所求的三次多项式为23()0.41 6.29 3.489.98f x x x x =--+。

所以2323(0.2)0.41 6.290.2 3.480.29.980.20.91(0.8)0.41 6.290.8 3.480.89.980.8 1.74f f =-⨯-⨯+⨯=-=-⨯-⨯+⨯=-3、设(0,1,2,,)i x i n =L 是 n+1个互异节点，证明： （1）0()(0,1,2,,)nk k i i i x l x x k n ===∑L ；（2）0()()0(0,1,2,,)n k i i i x x l x k n =-==∑L 。

证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x k 作n 次插值，插值多项式为 0()()nn i i i p x l x y ==∑，而y i =x i k ,所以0()()()nnk n i i i i i i p x l x y l x x ====∑∑同时，插值余项(1)(1)11()()()()()()0(1)!(1)!n k n k n r x x p x f x x x n n ξξππ++=-===++所以0()nk k i i i l x x x ==∑结论得证。

（2）取函数()(),0,1,2,,k f x x t k n =-=L对此函数取节点(0,1,2,,)i x i n =L ，则对应的插值多项式为()()()nk n i i i p x x t l x ==-∑，由余项公式，得(1)(1)011()()()()()()()()0(1)!(1)!nn kk n ki i i r x x t x t l x f x x t x n n ξξππ++==---==-=++∑所以0()()()nkk i i i x t x t l x =-=-∑令t=x ，()()0nkiii x x l x =-=∑4、给定数据（()f x =(1)试用线性插值计算f 的近似值，并估计误差；(2)试用二次Newton 插值多项式计算f 的近似值，并估计误差。

解：用线性插值计算f ，取插值节点为和，则相应的线性插值多项式是1.54919 1.48320() 1.48320( 2.2)2.4 2.21.483200.32995(2.2)p x x x -=+--=+- 用x=代入，得(2.3) 1.483200.32995(2.3 2.2) 1.450205f ≈+⨯-= (2)根据定理2f(x)＝f(x 0)＋f[x 0，x 1](x-x 0)+f[x 0，x 1，x 2](x-x 0)(x-x 1)+…+f[x 0，x 1，…，x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n －1)+f[x 0，x 1，…，x n ，x]π(x) 。

以表中的上方一斜行中的数为系数，得 f ＝＋ × × × ＝ 指出：误差未讨论。

557()0167(1)(1)(2)(1)(2)(4)26p x x x x x x x x x x x =++--------。

指出： 余项未讨论。

解：由已知条件，显然，x 0=0，h=1，x=t 。

0(1)(1)(2)(1)(2)(3)()()01614(2)(140)2!3!4!(1)(2)35167(1)(1)(2)(3)36n n t t t t t t t t t p x th p t t t t t t t t t t t t ------+==+⨯+⨯+⨯-+⨯---=+------指出:在本题这种情况下,实际上()()n n p t p x =，也就是说,在这样的条件下,t 的多项式就是x 的多项式，可以直接转换。

一般情况下，把t 的关系转换为x 的关系需要根据x=x 0+th ，将t 用x 表示，即将0x x t h-=代入得到的多项式。

6解：所给节点是等距结点：000.125,0.125,,0,1,2,3,4,5i x h x x ih i ===+=。

令00()x x th t h=+=,根据等距结点插值公式，得 0(1)()()0.79618(0.02284)(0.00679)2!(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(0.00316)0.00488(0.00460)3!4!5!n n t t p x th p t t t t t t t t t t t t t t -+==+⨯-+⨯----------+⨯-+⨯+⨯-则(0.1581)(0.1581)(0.1250.2648)0.790294822,(0.636)(0.6363)(0.125 4.088)0.651804826n n n n f p p h f p p h ≈=+=≈=+=。

7、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且(1)1,(0)2,(0)0,(3)1,(3)1f f f f f ''-=====(1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足(1)(1)1,(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f p f ''''-=-=-======== (2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。

解：(1)由7*可以求出满足(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''======== 的三次埃尔米特插值多项式3252()2273H x x x =-+。

设22322252()()(3)2(3)273p x H x a x x x x a x x =+-=-++-，则p(x)满足(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''========， 由(1)1f -=得 3222521(1)(1)2(13)(1)1273108a a ⨯--⨯-++---=⇒=-， 所以223222432521()()(3)2(3)27310811332108544p x H x a x x x x x x x x x =+-=-+--=-++-+。

(2)余项具有如下结构22()()()()(1)(3)r x f x p x k x x x x =-=+- 作辅助函数22()()()()(1)(3)t f t p t k x t t t ϕ=--+-则显然()t ϕ在点,1,0,3x -处有6个零点（其中0，3是二重零点），即 ()0,(1)0,(0)0,(0)0,(3)0,(3)0x ϕϕϕϕϕϕ''=-=====， 不妨假设(1,0)x ∈-。

由罗尔定理，存在123(1,),(,0),(0,3)x x ξξξ∈-∈∈， 使得123()0,()0,()0ϕξϕξϕξ'''===，再注意到(0)0,(3)0ϕϕ''==，即()t ϕ'有5个互异的零点12303ξξξ<<<<再次由罗尔定理得，存在111223343(,),(,0),(0,),(,3)ηξξηξηξηξ∈∈∈∈， 使得1234()0,()0,()0,()0ϕηϕηϕηϕη''''''''====第三次应用罗尔定理得，存在112223334(,),(,),(,)ξηηξηηξηη∈∈∈ 使得123()0,()0,()0ϕξϕξϕξ'''''''''===，第四次应用罗尔定理得，存在112223(,),(,)μξξμξξ∈∈ 使得(4)(4)12()0,()0ϕμϕμ==，第五次应用罗尔定理得，存在12(,)τμμ∈ 使得(5)()0ϕτ= 注意到(5)(5)(5)()()5!()()5!()t r t k x f t k x ϕ=-=-（()()()r t f t p t =-中p(t)是4次函数，其5次导数为0）。