2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102
1-⨯至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为
)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2
11
a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10.
2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过
0.5×10-4的根要二分多少次？
证明 令f (x )＝1－x －sin x ，
∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0
∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又
f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间
[0，1]内有唯一实根.
给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为
)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211
a b k 即可，亦即 7287.1312
lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14.
2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1）211x x +=，迭代公式2111k
k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
解：（1）令211)(x x f +
=，则3
2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。
（2）令321)(x x f +=，则322)1(3
2)(-+='x x x f ，由于
134.0)5.11(35
.12)(322<≈+⨯='x f
迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。
（3）令11)(-=x x f ，则3)
1(21)(--='x x f ，由于 1)
15.1(21)(3>--='x f
迭代发散。
（4）令1)(3-=x x f ，则2
1
32)1()(--='x x x f ，由于 115.15.11)(3232
>-=-='x x x f
迭代发散。
具体计算时选第二种迭代格式，
3211k
k x x +=+ n=0,1,… 计算结果如下：
4727057
.1,481248.1,5.1210===x x x 466243
.1,4670480.1,4688173.1543===x x x 4656344
.1,4657102.14658768.1876===x x x 4656000
.19=x 4656000.1,102
19489=⨯≤--x x x 2.5 对于迭代函数)2()(2-+=x C x x ϕ，试讨论：
（1） 当C 取何值时，),2,1,0(),(1
==+k x x k k ϕ产生的序列{}k x 收敛于2； （2） C 取何值时收敛速度最快？ 解：（1）)2()(2-+=x C x x ϕ，Cx x 21)(+='ϕ，由已知条件知，当
1221)2(<+='C ϕ，即 02
1
<<-C 时，迭代收敛。
（2）当0)
(='x ϕ时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。
即
0221)2(=+='C ϕ，所以2
21-=C 时收敛最快。
2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：
(1)
c 1不使用除法运算； (2) c
1不使用开方和除法运算. 解：（1）令c x =1，取21)(,1)(x x f c x x f -='-=，则 22211cx x x
c x x x -=---=
迭代格式为 21
2k k k cx x x -=+ 注：若令c x 1=，取1)(,1)(='-=x f c
x x f ，则 x c x x x =--=11
，显然迭代格式不法不符合题意。
（2） 令c x =21，取3
22)(,1)(x x f x c x f ='-=，则 x x c x c x x
x c x x )2
23(22321
2332-=-=--= 迭代格式 k k k x x c x )2
23(21-=+
2.10 设23)()(a x x f -=。
（1） 写出解0)(=x f 的Newton 迭代格式。
（2） 证明此迭代格式是线性收敛的。
解：因23)()(a x x f -=，故)(6)(32a x x x f -='，由Newton 迭代公式：
,1,0,)()(1='-
=+n x f x f x x n n n n。