第一章 误差1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值:12222...q q π=⋅⋅⋅ 其中112,3,...n q q n +⎧=⎪⎨==⎪⎩ 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得3.141587725...π≈这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:7 015 50 651 13 236 23 解: 0 7 2363. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字 13 05 0解: 五位 三位 六位 四位4. 若1/4用表示,问有多少位有效数字 解: 两位5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字解: 已知4311d 10,d 1022a b --<⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,()433211110100.551010222d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,所以a b +有三位有效数字;因为0.1047571410a b ⨯=⨯,()43321110.94710 1.1062100.600451010222d a b b da a db ----⨯=+=⋅⨯+⋅⨯=⨯<⨯所以a b ⨯有三位有效数字.6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求1211,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ⋅与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211d ,d ,d =10,d 1022x y x x y x x x =+=+⨯=⨯, ()44111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---⋅=+≈⨯+⨯≈⨯.7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2.解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211d 0.5102200a a -≤==⨯.所以边长的误差不能超过20.510-⨯cm.8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''o(读到秒),试问:计算sin ϕ将有多大误差解: ()()1d sin cos d cos 45022ϕϕϕ*''⎛⎫'''== ⎪⎝⎭o.9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式212s gt =确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小. 证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ⎛⎫=====⎪⎝⎭ d s 与t 成正比, d s s 与t 成反比,所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x xδ==.11. 设x 的相对误差为%α,求nx 的相对误差.解: 1d d d %n n n n x nx x n xn x x xα-===.12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何 解: 已知343V R π=,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%VV V R R R R a V========,则11%3a =⋅.第二章 插值法与数值微分1.设y =在100,121,144x =三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立y =二次插值多项式,,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,,并分析其结果不同的原因.解: 已知012012100,121,144;10,11,12x x x y y y ======,建立二次Lagrange 插值函数可得:()()()()()()()()()()()()()21211441001441011100121100144121100121144121100 12144121144100x x x x L x x x ----=+------+--()211510.7228L ≈=.误差()()()()()()2012012,,,,3!f R x x x x x x x x x x ξξξ'''=---∈,所以20.00065550.001631R <<利用前两个节点建立线性插值函数可得:()()()()()11211001011100121121100x x L x --=+--()111510.7143L ≈=.利用后两个节点建立线性插值可得:()()()()()11441211112121144144121x x L x --=+--()111510.7391L ≈=.利用前后两个节点建立线性插值可得:()()()()()21441001012100144144100x x L x --=+--()111510.6818L ≈=.,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好.此说明,二次插值比线性插值效果好,内插比外插效果好.2. 利用式证明()()()0121001max ,8x x x x x R x f x x x x ≤≤-''≤≤≤证明: 由式()()()()0101,2!f R x x x x x x x ξξ''=--<<当01x x x <<时,()()01max x x x f f x ξ≤≤''''≤,()()()01201101max 4x x x x x x x x x ≤≤--≤- 所以()()()0121001max ,8x x x x x R x f x x x x ≤≤-''≤≤≤3. 若()0,1,...,j x n 为互异节点,且有()()()()()()()()()011011............j j n j jj j j j j n x x x x x x x x l x xx x x x x x x -+-+----=----证明()0,0,1,...,nk kj j j x l x xk n =≡=∑证明: 由于() 1 ;0 .j i ij i j l x i j δ=⎧==⎨≠⎩且()0nkj j j x l x =∑和kx都为k 次多项式,而且在k+1个不同的节点处的函数值都相同 0,1,...,k n =, 所以马上有()0,0,1,...,nk kj j j x l x xk n =≡=∑.4. 设给出sin x 在[],ππ-上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于510-,问函数表的步长最大能取多少 解: 记插值函数为p(x),则()()()()()11sin sin 3!i i i x p x x x x x x x ξ-+'''-=--- 所以()()()()11cos max sin 3!i i i x x p x x x x x x ππξ-+-≤≤--=---()cos 1ξ-≤;令()()()()11i i i g x x x x x x x -+=---,设1i x x th -=+,得()()()[]3112,0,2i g x th h t t t t -+=--∈又()()()[]12,0,2t t t t t ϕ=--∈的最大值为10.3849ϕ⎛= ⎝⎭,所以有 350.3849max sin 106x x p h ππ--≤≤-≤<所以 0.0538h ≤.5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点()()()()3,1,0,2,3,2,6,10---的三次插值公式. 解: Lagrange 插值函数:()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12302330101020310121301301223202123303132 31033101622731033 .2781/5x x x x x x x x x x x x L x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y yx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=+------------++--------+--=++-+-++牛顿插值: 首先计算差商3 10 2 13 2 1.333 0.38896 104 0.8889 0.1420-----()()()()()3130.38893 1.142033.N x x x x x x x =-++-+++-也可以利用等距节点构造,首先计算差分3 10 2 33 24 76 10 12 16 23-----可得前插公式()()()()3072313112;26N x th t t t t t t -+=-++-+-- 和后插公式()()()()3316231012112.26N x th t t t t t t +=++-+-- 6.确定一次数不高于4的多项式()x ϕ,使()()()()()00,00,111,21ϕϕϕϕϕ''=====.解: 利用重节点计算差商0 00 0 01 1 1 11 1 1 0 12 1 0 1 1/2 1/4---则可构造Hermite 插值函数满足题设条件:()()()()()()()()()()()44320001001001100114139.424H x x x x x x x x x x x x x x =+-+------+----=-+7. 寻找过1n +个点01,,...,n x x x 的21n +次多项式()21n H x +,满足条件:()()()()()()()()()()()()21002111212100211121,,...,,,,..,.n n n n n n n n n n H x f x H x f x H x f x H x f x H x f x H x f x ++++++===''''''===解: 和Lagrange 插值函数的构造类似,可将插值函数写成()()%()(),21,0nn i n n i i ii H x h x y h x y +='=+∑其中,基函数满足条件 (1)()%()(),,,21n i n ih x hx P n ∈+;(2)()()%()%(),,,,,0;,0n i n i n ijijn i j j ijj h x h x h x h x δδ''==== 则可由已知条件,可得()()()()2,,,12n i n i i i n i h x l x x x l x '⎡⎤=--⎣⎦;%()()()2,,n i i n i h x x x l x '=-. 所以可得()()()()()()()2221,,,012nn n i i i n i i i n i i i H x l x x x l x y x x l x y +=''⎡⎤=--+-⎣⎦∑8. 过0,1两点构造一个三次Hermite 插值多项式,满足条件:()()()()1101,0,12,122f f f f ''====解: 计算重节点的差商0 10 1 1/21 2 1 1/21 2 1/2 -1/2 1-马上可得()()()()()()()33211100010012231122H x x x x x x x x x x =+-+------=-+++9. 过给定数组(2) 取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.(3) 用两种插值函数分别计算75.5,78.3x x ==的函数值. 解: (1)做分段线性插值函数可得:()()()()()()()50123452.768 2.833 2.903 2.979 3.062 3.153I x l x l x l x l x l x l x =+++++ 其中, ()[][]076 75,76;0 75,76.x x l x x ⎧-∈⎪=⎨∉⎪⎩()[][][]175 75,7677 76,77;0 75,77.x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩()[][][]276 76,7778 77,78;0 76,78.x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩()[][][]377 77,7879 78,79;0 77,79.x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩()[][][]478 78,7980 79,80;0 78,80.x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩()[][]580 79,80;0 79,80.x x l x x ⎧-∈⎪=⎨∉⎪⎩(2)把已知节点值带入M 关系式可得:121232343451120.0152211 20.0182211 20.014221120.01622M M M M M M M M M M M M ⎧++=⎪⎪⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪++=⎩ 由边界条件可得050M M ==,所以上面方程组变为可求解方程组1212323434120.01521120.0182211 20.01422120.0162M M M M M M M M M M ⎧+=⎪⎪⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪+=⎩ 解得12340.0058,0.0067,0.0036,0.0071M M M M ====.所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式:()()()()()33111116666j j j j jj j j j j M M M M s x xx x x y x x y x x -----⎛⎫⎛⎫=-+-+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)当75.5x =时, ()()()50175.5 2.76875.5 2.83375.5 2.8005I l l =+=;()()()()()30.00580.005875.575.576 2.7687675.5 2.83375.575 2.79966s ⎛⎫=-+-+--= ⎪⎝⎭当78.3x=时, ()()()53475.5 2.97978.3 3.06278.3 3.0039I l l =+=;()()()()()330.00360.007178.37978.378.378660.00360.0071 2.9797978.3 3.06278.378 3.0034.66s =-+-⎛⎫⎛⎫+--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10. 若给出sin ,cos ,tan x x x 的函数表:用表上的数据和任一插值公式求:(1) 用tan x 表格直接计算tan1.5695.(2) 用sin1.5695和cos1.5695来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因. 解: 利用Lagrange 插值直接用tan 表计算得tan1.5695819.0342874999274≈;利用Lagrange插值计算sin 得sin1.56950.99999917500000≈;利用Lagrange 插值计算cos 得cos1.56950.00129630000000≈;最后利用sin/cos 计算tan 得tan1.5695771.4257309264500≈.出现小除数,误差被放大.11. 求三次样条函数()s x ,已知和边界条件()()0.25 1.0000,0.530.6868s s ''==解: 把表中数据带入M 关系式可得12123234592 4.3143141432 2 3.26435534 2 2.428677M M M M M M M M M ⎧++=-⎪⎪⎪++=-⎨⎪⎪++=-⎪⎩由边界条件还可得到两个方程:01342 5.52002 2.1150M M M M +=-⎧⎨+=-⎩ 联立两个方程组可解得:012342.0284, 1.4632, 1.0319,0.8062,0.6544M M M M M =-=-=-=-=- 带入M 表达式便可得所求三次样条函数.12. 称n 阶方阵()ij A a =具有严格对角优势,若 1,1,2,...,nij ij j j i a a i n =≠>=∑(1) 试证明:具有严格对角优势的方阵必可逆.(2) 证明:方程组解存在唯一.证明: (1)设矩阵A 按行严格对角占优,如果A 奇异,则存在非零向量x 使得Ax=0,写成分量形式为10,1,2,...,n ijj j a x i n ===∑令指标0i 使得00i x x ∞=≠,则0000000000001111n n n ni i i i j j i j j i j i i j j j j j j i j i j i j i a x a x a x xa x a ∞====≠≠≠≠=-≤≤=∑∑∑∑因此 0000010n i i i i j j j i x a a =≠⎛⎫ ⎪-≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑ 即 000010n i i i j j j i a a =≠-≤∑上式与矩阵按行严格对角占优矛盾,因此矩阵非奇异.(2)方程组()()()()0010101121212232121111 212 12 ............ 12 12n n n n n n n n M M M M M M M M M M M M M αβααβααβααβα------+=-++=-++=-++=-+n nβ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪=⎩ 由于该方程组系数矩阵为严格对角占优的方阵,所以由克拉默法则可知方程组存在唯一解.。