1 1 3). |e( x x2 )| ≈ | x2 e(x1 ) − 1 2
2) x1 x2 ; × 10−4 +
1 2
3) x1 /x2 . × 10−5 +
1 2
× 10−5 = 6 × 10−5 .
−5 + x 1 × 10−4 = 2.28675 × 10−4 . 2). |e(x1 x2 )| ≈ |x1 e(x2 ) + x2 e(x1 )| ≤ x1 1 22 2 × 10 x1 e(x2 )| x2 2
计算方法习题解答
1
绪 论 P15
1. 指出下列各数有几位有效数字：
x5 = 96 × 105 , 答 ：5, 6, 4, 6, 2, 2.
x6 = 0.00096
2. 将下列各数舍入至5位有效数字： x1 = 3.25894, x2 = 3.25896,
kh ww w.
εr ≤ 1 × 10−(n−1) , 2a1 εr ≤ 1 × 10−4 ; 16 1 × 10−2 . 8 εr ≤ 1
ww
w.
6
kh
da w.
co
m
√ 因而 5 235.4 ≈ 2.981。 收 敛性分 析: m = 1时，牛顿迭代序列为常序列a，显然收敛。 √ f (ε) m ≥ 2时, 对任意正数ε(0 < ε n a), 令M (ε) = − f (ε) , 则 M (ε) = (1 − √ a 1 1 )ε + ε1−m = (ε + · · · + ε + aε1−m ) > m a = x∗ . m m m
3
1 + x2 k , k = 0, 1, 2 · · · , x0 = 1.5.
2 1 ϕ (x) = (1 + x2 )− 3 · 2x, 3
计算得 |ϕ (1.5)| = 所以迭代格式是局部收敛的。 3
3
2 × 1.5 (1 + 1.52 )2
= 0.4558,
8. 设ϕ(x) = x + c(x2 − 3)。应如何选取c，才能使迭代格式xk+1 = ϕ(xk )具有局部收敛性？ 答 ： 如果迭代格式xk+1 = ϕ(xk ) = xk + c(x2 k − 3), k = 0, 1, 2, · · · 是局部收敛的，设迭代序列的极限值 ∗ 为x ，则有 x∗ = x∗ + c(x∗2 − 3), √ √ x∗ = 3或x∗ = − 3, ϕ (x) = 1 + 2cx. √ √ 1 < c < 0时，则迭代格式局部收敛，收敛于 3. 当|ϕ ( 3)| < 1, 即− √ 3 √ √ 1 时，则迭代格式局部收敛，收敛于− 3. 当|ϕ (− 3)| < 1, 即0 < c < √ 3 √ √ 9. 写出用牛顿迭代法求方程xm − a = 0的根 m a的迭代公式（其中a > 0），并计算 5 235.4（精确至4位 有效数字）。分析在什么范围内取值x0 ，就可保证牛顿法收敛。 √ 答 ：记f (x) = xm − a, x∗ = m a. 计算得 f (m) = mxm−1 , f (x) = m(m − 1)xm−2 , 牛顿迭代公式为
令m = 5, a = 235.4, 则牛顿迭代公式为
后
答
xk+1 = xk −
取x0 = 3, 计算得 k xk 1 2.98123 2 2.98100 3 2.98100
课
案
4 235.4 −4 xk+1 = xk + xk , k = 0, 1, 2, · · · 5 5
网
f (xk ) 1 a −m = (1 − )xk + x1 , k = 0, 1, 2, · · · f (xk ) m m k
4. 求下列各近似数的误差限（其中x1 , x2 , x3 均为第1题所给出的数）：
课
后
并指出近似数x1 = 86.734, x2 = 0.0489的相对误差限分别是多少。 −(n−1) , 答 ： x有n位有效数字，x = ±a1 .a2 a3 · · · an × 10m , ε ≤ 1 2 × 10
x3 = 4.382000,
da w.
x4 = 0.000789247. a1 = 0 , ∴ εr = ε ε 1 ≤ = × 10−(n−1) . |x| a1 2a1
答 ：3.2589, 3.2590, 4.3820, 0.00078925. 3. 若近似数x具有n位有效数字，且表示为
x1 = 86.734, n = 5, a1 = 8, x2 = 0.0489, n = 3, a1 = 4,
≤
1 1 x2 2
× 10−4 +
x1 1 2 x2 2
× 10−5 = 1.3692 × 10−5 .
5. 证明 er − er = 答 ：er =
e x∗ , e er = x ,
e2 e2 r r = . 1 + er 1 − er
er − er = er −
e2 e e 1 r = . = e − = e − r r x∗ e+x 1 + er 1 + e1 r
1 ; x2
后
答
所以x∗ 2 ≈ 2.153。
案
4 2.16743
ww
w.
5 2.15984
1 |ϕ (x)| ≤ , 2
kh
6 2.15933 7 2.15609 8 2.15459
da w.
9 2.15389
co
10 2.15357
m
x = ln(4x), x ∈ [2, 3],
11 2.1534
1 2
× 10−3 .
网
−2 ∗ = y∗ yn n−1 − 10 (x + e), yn = yn−1 − 10−2 x,
ww
√ 计算到y100 , 若取 783 ≈ 27.982 (5位有效数字)，试问计算到y100 将有多大误差？ √ 答 ：设x∗ = 783, x = 27.982, x∗ = x + e.
设二分k 次，取xk ≈ x∗ , |xk − x∗ | = k ≥ 9.965, 所以要二分10次。
1 2k+1
(1 − 0) ≤
1 × 10−3 , 2
设二分k 次，同上题计算，需二分10次。计算机计算略, x∗ ≈ 0.921。
3. 用简单迭代法求下列方程的根，并验证收敛性条件，精确至4位有效数字。 1) x3 − x − 1 = 0; 2) ex − 4x = 0; 答 ：以2)为例. 3) 4 − x = tan x, x ∈ [3, 4]; 4) ex − 3x2 = 0.
1
9. 推导出求积分 In =
0
xn dx 10 + x2
n = 0, 1, 2, · · · , 10
课
后
答
案
网
ww
w.
3
kh
w.
10. 设f (x) = 8x5 − 0.4x4 + 4x3 − 9x + 1, 用秦九韶法求f (3)。 答 ：1993.6.
co
m
的递推公式，并分析这个计算过程是否稳定；若不稳定，试构造一个稳定的递推公式。 1 答 ：与例题类似，In = −10In−2 + n− 1 ，略。
所以x∗ 1 ≈ 0.3574。 – 求根x∗ 2: 将方程f (x) = 0在区间[2, 3]改写为同解方程
构造迭代格式 xk+1 = ln(4xk ), k = 0, 1, 2, · · · 记ϕ = ln(4x), 则 ϕ (x) = 当x ∈ [2, 3]时， 1 > 0. x
ϕ(x) ∈ [ϕ(2), ϕ(3)] = [ln 8, ln 12] ⊂ [2, 3],
w.
2
yn = yn−1 −
1 √ 783, 100
kh
7. 设y0 = 28, 按递推公式
da w.
n = 1, 2, · · ·
co
·········
m
√ 若y0 = 3 ≈ 1.73 (3位有效数字), 计算到y10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ √ ∗ = ∗ − y ≤ 1 × 10−2 , 答 ：设y0 3, y0 = 1.73, e0 = y0 0 2
所以此迭代格式对x0 ∈ [2, 3]均收敛。
k xk 1 2.30259 2 2.22033 3 2.18395
网
取x0 = 2.5, 迭代得到
课
6. 求方程x3 − x2 − 1 = 0在x0 = 1.5附近的根，将其改写为如下4种不同的等价形式，构造相应的迭代格 式，试分析它们的收敛性。选一种收敛速度最快的迭代格式求方程的根，精确至4位有效数字。 1) x = 1 + 2) x = √ 3
构造迭代格式
1 x 记ϕ(x) = 4 e ，则
课
– 求根x∗ 1:
后
网
设f (x) = ex − 4x, 则f (x) = ex − 4, f (x) = 0的根为ln 4。
∗ x∗ 1 ∈ [0, 1], x2 ∈ [2, 3].
ww
w.
kh
da w.
2. 用二分法求方程2e−x − sin x = 0在区间[0, 1]内的根，精确到3位有效数字。 −x 答 ：设f (x) = 2e−x −sin x, f (0) > 0, f (1) = 2 e −sin 1 < 0, f (x) = −2e −cos x < 0, 所以f (x)在[0, 1]内 有且仅有一根。
答