第2课时分段函数［目标］1. 了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象，培 养数学运算核心素养；2.能在实际问题中列出分段函数， 并能解决有关问题，培养数学建模核心素养.［重点］分段函数求值、分段函数的图象及应用. ［难点］对分段函数的理解.分段函数［填一填］如果函数y = f (x ) ,x € A 根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系, 则称这样的函数为分段函数.［答一答］1. 分段函数的定义域部分可以相交吗？提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的. 2. 分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数，它只不过是在定义域的 不同子集内解析式不一样而已.(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各 段函数自变量的取值范围.3. 已知函数f (x )的图象如图所示，则 f (x )的值域为［—4,3］.“要点整合夯基础横mum ■■主学儿 整介知讯・Am*知识点解析：由题图可知，当 x € ［ — 2,4］时，f (x ) € ［ — 2,3］;当 x € ［5,8］时，f (x ) €［—4,2.7］.故函数f (x )的值域为［—4,3］.B. (0，+m)D. ( —s, 0) U (0 ,+口的定义域为 ，值域为 .［分析］分段函数的定义域、值域 ？各段函数的定义域、值域. ［答案］(1)D(2)( — 1,1)( — 1,1) |x |1, x >0, ［解析］ ⑴ 由于f (x )= =故定义域为(一s, 0) U (0，+s ).x — 1, x <0,(2)由已知定义域为{x |0<x <1} U {0} U {x | — 1<x <0} = {x | — 1<x <1}，即(一1,1)，又2 20<x <1 时，0<— x + 1<1, — 1<x <0 时，一1<x — 1<0, x = 0 时，f (x ) = 0，故值域为(一1,0)U {0} U (0,1) = ( — 1,1).1. 分段函数定义域、值域的求法1分段函数的定义域是各段函数定义域的并集 .2分段函数的值域是各段函数值域的并集.2. 绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决x , — 1 w x W 1, ［变式训练1］已知函数f (x )= ’ 亠|1, x >1 或 x <— 1 ,7典例讲练破题型 ............ 术栏口曲过漏童眇缭兀訪*制析鞘点.全潮^类型一分段函数的定义域、值域|x |A. RC. (—s, 0)”-X? + , 0<x <1,⑵函数 f (x ) = 0, x = 0,x 2 — 1，1<x <0则其定义域为［例1］ (1)已知函数f (x ) x，则函数的定义域为R,值域为［0,1］.2 解析：由已知定义域为［—1,1］U (1 ,+^) U ( —0, — 1) = R,又x€ ［—1,1］时，x€ ［0,1］，故函数的值域为［0,1］.类型分段函数求值［例2］已知函数f(x) = { X(°w x<2》(1) 求f(f(f( —2)))的值.(2) 若f(x) = 2,求x的值.［分析］分段考虑求值即可.1 1(1) 先求f( —2)，再求f(f( —R)，最后求f(f(f( —2)))；2 1(2) 分别令x + 2= 2, x = 2, ^x= 2,分段验证求x.” 1 1 3［解］(1) f(—2)=(—2)+ 1 1=2(2)当f(x) = x+ 2= 2 时，x= 0,不符合x<0.当f (x) = x2= 2 时，x=±2,其中x= 2符合0W x<2.1当f (x) = 2x = 2 时，x = 4,符合x>2.综上，x的值是〔2或4.1分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得•2多层“ f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理• 3已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解•-f(f( —p) = f(p =(2)= 4,f{X — 1 , x >0, [变式训练2] (1)已知函数f (x )=八 x , x <0,则f (1)的值为(D ) A. 1B. 2C. 3D. 0A.— 4 或一2 C.— 2 或 4解析：⑴因为1>0,所以f (1) = f (1 — 1) = f (0) = 0,故选D. (2)当 a <0 时,由 f (a ) =— a = 4，得 a = — 4； 当 a >0 时，由 f (a ) = a = 4, 得a = 2或a = — 2(舍去).a =— 4 或 a = 2.类型三 分段函数的图象［例3］画出下列函数的图象，并写出它们的值域.I 1, 0<x <1(1) y = xi2x , x > 1(2) y = |x + 1| + |x — 3|.［分析］先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时， 要注意对应关系与自变量范围的对应.卩，0<x <1,［解］(1)函数y = x的图象如图所示，观察图象，得函数的值域为(1 ,〔2x , x >1+ ).⑵用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y =—x , x < 0,⑵设函数f (x ) = 2x , x >0,若f (a ) = 4,则实数a = ( B )B.— 4 或 2 D.— 2 或 2它的图象如图所示•观察图象，得函数的值域为 [4 ,+^).作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数的取值情况决定着图象在分界点 关键点 处的断开或连接，断开时要分清断开点处是虚还是实f 2小x ， x <0,[变式训练3](1)下列图形是函数 yx - 1, x >0的图象的是(C )解析：因为f (o )= 0-1 = - 1,所以函数图象过点(0，- 1)；当x <0时，y = x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在 y 轴左侧的部分.因此只有选项 C中的图象符合.(2)已知函数 f (x ) = |x -2|( x + 1). ① 作出函数f (x )的图象.② 判断直线y = a 与y = I x — 2|( x +1)的交点的个数. 解：①函数 f (x ) = |x -2|( x + 1),-2x + 2, x w- 1,4,— 1<x w 3, 2x - 2, x >3,x — x — 2, x 》2,去绝对值符号得f (x )=2-x 2+ x + 2, x <2.可得f (x )的图象如图所示.②直线y = a 与y = | x — 2|( x + 1)的图象的交点的个数.作出图象如图:由图象可知.当a <0时，有一个交点； 当a = 0时，有两个交点； 9 、当0<a <4时，有二个交点； 9 、当a = 4时，有两个交点；9 当a>-时，有一个交点. 49 、综上，当a <0或a >4时，有一个交点; 9 、当a = 0或a =;时，有两个交点；4则f (x )的定义域为(C )A. C. "丄「 4484411224 十解析:f (3)= 2X 3 = 3, f ( — 3) = f ( — 3 + 1) = f ( — 3) = f ( — - + 1) = f (3)= 3X 2= 3,所“课堂达标练经典梯目ilil 漏童H ⑴町乩圻・BMft ・ WUfA.B. (—m , 1]C. (—R, 2)D. (1 , +m )2. 已知f (x )= 2x , x >0,f x + 1 , x < 0,4则 f (3)+f (1. B. D.「、— 4 上 48 4以 f (3)+f(_3)=3+ 3= 4.3x + 2, x <1,3.已知函数f (x ) = i 2 若f (f (O)) = 4a ,则实数a =2.x + ax , x > 1,一解析：由题意知 f (0) = 2.又 f (2) = 22+ 2a ,所以 22+ 2a = 4a ,即 a = 2.卩,x >1,54. 设函数f (x ) = S x则f [f (2)] =-，函数f (x )的值域是[—3,+「x — 2, x w 1,8 ).5. 如图所示，函数f (x )的图象是折线段 ABC 其中A 、B C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、 (6,4)(1) 求 f [ f (0)]的值； (2) 求函数f (x )的解析式.解：⑴ 直接由图中观察，可得 f [f (0)] = f (4) = 2. (2)设线段AB 所对应的函数解析式为y = kx + b ,x = 0,x = 2,将与代入，y =4y = 0 4= b ,0 = 2k + b .同理，线段BC 所对应的函数解析式为y = x — 2(2< x w 6).—2x + 4, 0w x w 2,x — 2, 2<x w 6.――本课须掌握的问题(1) 分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域” 的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.(2) 求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.(3) 研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先 将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.b = 4, k= — 2.y =— 2x + 4(0 w x w 2).学习至此，请完成课时作业9学科素养培优精品微课堂分段函数在实际中的应用开讲啦对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y,然后利用题干条件用x表示y,最后写出定义域•注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.［典例］如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD底边BC长为7 cm,腰长为2 2 cm当垂直于底边BQ垂足为F）的直线I从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线I 把梯形分成两部分，令BF= x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.[解]如图，过点A, D分别作AGL BC DH L BC垂足分别是G H因为ABCD1等腰梯形，底角为45°, AB= 2,2 cm,所以BG= AG= DH= HC= 2 cm.又BC= 7 cm，所以AD= GH= 3 cm.1 2⑴当点F在BG上时，即x € [0,2]时，y = ^x ;⑵当点F在GH上时，即x € (2,5]时，y= x+ ；-2 x 2= 2x—2;⑶当点F在HC上时，即x € (5,7]时，y= S 五边形ABFED= S 梯形ABCD—S Rd CEF1 12 1 2 =2(7 + 3) x 2—2(7 —x) = —2(x —7) + 10.综合(1)(2)(3)得函数解析式为1 2* , x € [0 , 2],y= 2x —2, x€ 2, 5],1 2I —2(x—7 2 + 10, x € (5, 7].函数图象如图所示.[对应训练]在函数y = |x|(x € [ —1,1])的图象上有一点P(t ,t|)，此函数的图象与x轴、直线x=—1及x= t围成的图形(如图阴影部分)的面积为S,贝U S关于t的函数图象为(B )i t解：当一1< t <0时，S= 2 —-，所以函数图象是开口向下的抛物线的一段，顶点坐标f n i t2(为o, 2 ;当o<t <1时，s= 2+ ，函数图象是开口向上的抛物线的一段，顶点坐标为o，所以选项B满足题意.9 、当0<a<：时，有二个交点.4已知f(x) = F —: x；9 1,x, 1<x<2,。