~
函数及其表示
考点一 求定义域的几种情况
①若 f(x)是整式，则函数的定义域是实数集 R；
②若 f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集；
③若 f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合；
④若 f(x)是对数函数，真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
f(x)=lologg221x(,xx),
0, x
0
,若
f(a)>f(-a),则实数
a
的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）
∪（0,1）
【答案】C 由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论。
f (a)
D. f (x) ex
1
1
解析 由 y 可得定义域是 x 0. f (x) ln x 的定义域 x 0 ； f (x) 的定义域是 x ≠0； f (x) | x | 的定
x
x
义域是 x R; f (x) ex 定义域是 x R 。故选 A.
4.（2007
年上海）函数
y
lg( 4 x x3
C. y x 1x 3和y x 3 x 1
x x D. y 0和y 0
2. 函数 y=f(x)的图像与直线 x=2 的公共点个数为 A. 0 个 B. 1 个 C. 0 个或 1 个 D. 不能确定
x 3．已知函数 y= 2 2 定义域为 1,0.1,2，则其值域为
方法三 分段函数的考察
x 2 4x 6, x 0
4.（2009 天津卷文）设函数 f (x)
则不等式 f (x) f (1) 的解集是（ ）
x 6, x 0
A.(3,1) (3,) B.(3,1) (2,) C. (1,1) (3,) D. (,3) (1,3)
答案 A 解析 由已知，函数先增后减再增当 x 0 ， f (x) 2 f (1) 3 令 f (x) 3,
f
(x)
|
1 3
的解集为
.
3
解析
（1）由 |
f
(x)
| 1
1 3
x 0 1 1 x 3
3
x
0
.（2）由|
f
(x)
|
1 3
x1x
3
0
x 0
1
1
x
3 3
∴不等式| f (x) | 的解集为x | 3 x 1，∴应填3,1.
3
0 x 1. 1
3
7。（2010 天津理数）若函数
方法技巧清单
方法一 函数定义域的求法
1．（2009 江西卷文）函数 y x2 3x 4 的定义域为
（）
x
A．[4, 1]
B．[4, 0)
x0
C． (0, 1]
D．[4, 0) (0, 1]
解析 由 x2 3x 4 0 得 4 x 0 或 0 x 1,故选 D.
ln(x 1)
2．（2009 江西卷理）函数 y
)
的定义域是
． 答案
x12
5.求下列函数的定义域。①y= x 2 x 2 .②y=
.③y=
xx
x x 4 且 x 3
x1 1x
6.已知函数 f(x)的定义域为1,5，求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。
··
~
方法二 函数概念的考察
x x 1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.y= 5 5 和 y 2
的取值范围是 A (, 1) (2, )
~
B (1, 2) C (2,1)
D (, 2) (1, )
解析：由题知 f ( x) 在 R 上是增函数，由题得 2 a 2 a ，解得 2 a 1 ，故选择 C。
6.（2009
北京理）若函数
f
(x)
(11x),x
,
x x
0 0
则不等式 |
（A） 9 , 0 (1, ) （B）[0, ) （C）[ 9 , ) （D） 9 , 0 (2, )
4
4
4
x2 2 (x 4), x x2 2
x2 2, x 1或x 2
【解析】依题意知 f (x) x2 2 x, x x2 2
， f (x) x2 2 x, 1 x 2
⑥若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑦若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题
考点二 映射个数公式
N n Card(A)=m,card(B)=n, m,n ,则从 A 到 B 的映射个数为 m 。简单说成“前指后底”。
解得 x 1, x 3 。当 x 0 ， x 6 3, x 3 故 f (x) f (1) 3 ，解得 3 x 1或x 3
x 2 4 x, 5．（2009 天津卷理）已知函数 f ( x)
4x x2 ,
x0 若 f (2 a2 ) f (a), 则实数 a
x0
··
ⅰ 求分段函数的定义域和值域
e e B.y=ln x 和 y ln x
2x+2 x1,0 1 求函数 f(x)= 1 x x 0,2
2
3 x 2,
的定义域和值域
f (x) { 2（2010 天津文数）设函数 g(x) x2 2(x R) ，
g ( x) x4, x g ( x),
g ( x) x, x g ( x). 则 f (x) 的值域是
的定义域为
x2 3x 4
பைடு நூலகம்()
A． (4, 1)
B． (4, 1)
C． (1, 1)
D． (1,1]
x 1 0
x 1
解析
由
x2
3x
4
0
4
x
1
1
x
1.故选
C
3.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数 y 1 有相同定义域的是 x
(
)
A . f (x) ln x
B. f (x) 1 x
C. f (x) | x |
ⅱ求分段函数函数值
log3 x, x 0
1
3．（2010 湖北文数）3.已知函数
f
(x)
2
x
,
x
0
，则 f ( f ( )) 9
1
1
A.4
B.
C.-4
D-
4
4
【解析】根据分段函数可得
f
1 ()
log
1
2
，则
f ( f (1)) f (2) 22 1 ，所以
B
正确.
9
39
9
4
ⅲ解分段函数不等式
f (a)
laog
0 a
2
log
1 2
a
或alo<g0 (a)
1 2
log ( a)
2
a
a
0 1
或或a1
0 a
2 a
a 1
-1 a 0
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于 0，同事要注意底数