y
B
内力虚功：W (Fs ) Fs
b
xE xD 2b sin 2b cos
l
A
FS D FS' E
CF
外力虚功：W (F ) FxC
xC 2l sin
xC 2l cos
x
根据虚位移原理：W 0
当0 2b
Fs
k(
0 )
b l
k ( xC
a)
当：xC a, 0
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变形体的虚位移原理：具有双面、理想约束处于静止的质 点系，在给定位置处于平衡的充分必要条件是，其所有外 力和内力在该位置任意给定的虚位移上所作的虚功之和等 于零。
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理论力学
§4-6 虚位移原理
例：机构如图所示，不计构件自重。 已知 AB = BC = l, 弹簧
刚度为k，当 AC = a 时，弹簧无变形。设在滑块上作用一水平
理论力学
习题：4-7、4-12、4-15
•变形体的虚位移原理
•质点系平衡的稳定性
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理论力学
§4-6 虚位移原理
三、变形体的虚位移原理
m1
F1
m2
F2
F1
m1
m2 F2
FN 1
FN 2
FN 1
FN 2
•外力(external force)：质点系外部的物体作用于质点系上的力
•内力(internal force)：质点系内部的作用力
V
nห้องสมุดไป่ตู้i1
V qi
qi
0
(*)
对于具有完整约束质点系的广义坐标的虚位移（变分）是独立的
(*)式成立的充分必要条件： V 0 (i 1,, n) qi
平衡的充分必要条件：质点系在平衡位置的势能取驻定值
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理论力学
§4-7 平衡的稳定性
质点系在势力场中平衡的充分必要条件是： V 0,( j 1,, k) q j
力F，求该机构处于平衡时，A和C两点间的距离（xC=？）
y
B
y
B
b
D
A
l
E CF
x
b
l
A
FS D FS' E
CF
x
内力虚功：W (Fs ) Fs • rD Fs' • rE FsxD Fs'xE Fs (xE xD ) Fs (xE xD ) Fs
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理论力学
§4-6 虚位移原理
W
n [V i1 xi
xi
i 1
V yi
yi
V zi
zi ] 0
V 0
平衡的充分必要条件：质点系在平衡位置的势能变分等于零
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理论力学
§4-7 平衡的稳定性
若质点系的广义坐标为: (q1, q2,, qn )
质点系的总势能为: V V (q1, q2,, qn )
质点系在平衡位置有:
平衡位置，若受到微小干扰偏离平衡位置后总不超出平衡位 置邻近的某个微小区域，则称质点系在该位置的平衡是稳定 的(stable)，否则是不稳定的(unstable)。
设系统的广义坐标为: (q1,,qn ), 其平衡位置为: (q1*,,qn*)
若 0,1 0,2 0,使得 : qi (t0 ) qi * 1, qi (t0 ) 2成立
z M
Fx
V x
, Fy
V y
, Fz
V z
V
y
举例说明： Fx x 0,
O
mg
V W (mg)AA0
V Fy y 0,
x
V mgz
V
Fz z mg
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理论力学
§4-7 平衡的稳定性
三、质点系在势力场中的平衡条件
设质点系中有n个质点,每个质点的势能为函数(可微)为：
当t t0时，有 qi (t) qi * 成立,
则称平衡位置是稳定的，否则是不稳定的
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理论力学
§4-7 平衡的稳定性
一、势力场及势能
•力 场(force field)：质点（系）所受力完全由其所在 位置决定，这样的空间称为力场。
•势力场(potential force field)：若力所做的功与路径无 关，这样的力称为有势力或保守力；有势力构成的力
场称为势力场或保守力场。
•势 能(potential energy)：质点系从某一位置A 到基准点
A0 ，有势力所做的功，称为质点系在该位置的势能。基
准点的势能为零。
V (x, y, z) WAA0
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理论力学
§4-7 平衡的稳定性
二、势力场的特性
设作用在质点上的有势力为：F Fxi Fy j Fzk 设质点的势能函数为：V V (x, y, z) 则有关系式
质点系在势力场中平衡及其稳定性分析的基本步骤： 1、给出系统的势能函数 2、确定系统的平衡位置 3、讨论平衡位置的稳定性
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理论力学
§4-7 平衡的稳定性
例：系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为L(不计质量)，当 杆铅垂时弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性。
解：取 =0 为系统的零势位
(Fl Fsb)2cos 0 0 (Fl Fsb) 0; or cos 0
xC1
a
F k
l b
2
xC2 2l
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理论力学
§4-7 平衡的稳定性
演示实验：钢丝在杯口平衡位置的稳定性。
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问题：如何分析平衡位置的稳定性？
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理论力学
§4-7 平衡的稳定性
• 平衡的稳定性(stability of equilibrium)：质点系处于某一
A
B
C
注意：质点系势能函数（可微）取得驻值是平衡的充分必要
条件，但是平衡并不一定是稳定的。
V (x) mgx2 x=0是平衡位置且是稳定的 V (x) mgx3 x=0是平衡位置且是不稳定的
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理论力学
§4-7 平衡的稳定性
四、质点系在势力场中平衡的稳定性
定理：质点系在势力场中的平衡位置是稳定的充分必要 条件是系统在平衡位置的势能为极小值。
k2
V
1 2
k1L2
sin 2
1 2
k2
L2
(1
cos
)
2
mgL(1
cos
)
L mg
k1
k1 k2
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dV
d
[(k1 k2 )L2
cos
k2 L2
mgL]sin
0
平衡位置 sin 0 or cos k2L mg
Vi Vi (xi , yi , zi )
n
质点系的总势能为: V Vi (xi , yi , zi ) V (x1, y1, z1,, xn , yn , zn )
i1
有势力与势能函数的关系式:
Fix
V xi
, Fiy
V yi
, Fiz
V zi
n
根据虚位移原理： W [Fixxi Fiyyi Fizzi ] 0