3个自由度。
一空间自由质点系：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n)
非自由质点系自由度：
定常几何约束的质点系，n 个质点，受到 s 个约 束 ，(3n - s )个独立坐标。 空间： 其自由度为 k =3n-s 。
平面：
其自由度为 k =2n-s 。
例如， 前述曲柄滑块机构中， 确定曲柄连杆机 构位形，只须确定A、B两点在平面内的位形， A、B
在定常约束条件下，质点系在某位置所发生的微
小实位移必是其虚位移中的一个（或一组）。
15.2.2 自由度 由于约束的限制，质点系内各质点的虚位移并
不独立。质点系独立的虚位移（坐标或坐标变分）
数目，称为质点系的自由度（Degree of freedom）。
自由质点系自由度： 一空间自由质点：（ x, y, z ) 3n个自由度。 一平面自由质点：（ x, y, z ) 个自由度。 2个自由度。 一平面自由质点系：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 2n
，平衡条件表现为主动力在的虚位移上所做虚功的关
系。 虚位移原理（ Principle of virtual displacement）： 给出任意非自由质点系平衡的必要与充分条件， 是解决质点系平衡问题的普遍原理。
本章重点 虚位移、理想约束的概念，应用虚位移原理 求解物体系的平衡问题。 本章难点 广义坐标、广义力的概念，广义坐标形式的
f j x1, y1, z1;
; xn , yn , zn 0
j 1,2,
, s
（15-3）
15.2 虚位移与自由度 15.2.1 虚位移 质点或质点系在给定位置（或瞬时），为约束所 容许的任何无限小位移，称为质点或质点系在该位置
的虚位移（Virtual displacement）。 虚线位移：d r ， d r d x i d y j d z k 。 虚角位移：d ， d 。
两点坐标 xA、yA、xB、yB 须满足三个约束方程，因此
系统有一个自由度。
15.2.3 广义坐标 许多问题中，采用直角坐标确定系统的位形并不
方便。 取3 n - s个独立的参数便能完全确定系统的位形， 这些参数可以是长度、角度、弧长等。 能够完全确定质点系位形的独立参数，称为系统
的广义坐标（Generalized coordinates）。
x2 y2 l 2
15.1.2.3 完整约束与非完整约束 约束不仅对质点系的几何位形起限制作用，而 且还可能与时间、速度有关。
约束方程的一般形式可表示为
, y1 , z1 ; ; xn , yn , z f j x1 , y1 , z1 ; ; xn , yn , z n ; x1 n; t 0
i Ni i i i
d ri d ri
Ni
d ri 0
虚位移原理。
15.1 约束及其分类 15.1.1 约束与约束方程
位形（Configuration）： 质点系内各质点在空间的位置的集合。
约束（Constraints）：
在非自由质点系中，那些预先给定的限制质点系 位形或速度的运动学条件。 例如，限制刚体内任意两点间的距离不变的条件 ，限制车轮在直线轨道上滚动而不滑动的条件
几何约束也属完整约束。几何约束方程的一般 形式为
f j x1, y1, z1;
; xn , yn , zn ; t 0
j 1,2,
, s
（15-2）
几何约束及可积分的运动约束统称为完整约束。
非完整约束（Nonholonomic constraint）： 含有坐标导数的方程不能积分成有限形式的约束 本章只讨论双面、定常的几何约束。其约 束方程的一般形式为
对于定常的几何约束系统，广义坐标的数目就等 于系统的自由度数。 广义坐标以 qi i 1, 2,, k 表示。
任一瞬时系统中每一质点的矢径和直角坐标都可
以表示为广义坐标的函数，即
ri ri q1 , q2 , , qk

i 1, 2,, n
i 1, 2,, n
d 是变分（Variation）符号。 d r 表示函数 r (t) 的变分。
变分运算与微分运算相类似。 例如：x = 2 sin ，
d x = 2 cos d
如图15-4所示曲柄滑块机构：
A
δrA δθ O θ （a） 图 15-4 A B δθ P A δrA
B
δrB
Q
O
θ
A
B
δrB
约束方程中显含时间 t。悬挂点移动的单摆的约束
15.1.2.2 双面约束与单面约束 双面约束（Bilateral constraint）：
约束方程中用等号表示的约束。
能限制两个相反方向的运动 。
单面约束（Unbilateral constraint）： 由不等式表示的约束 。 图15-1中的单摆，将摆杆以细绳代替，因绳子不能 受压，约束方程成为
n
衡，则有些质点（至少一个）必进入运动状态。质点
系原来处于静止，一旦进入运动状态，其动能必然增 加，即在实位移 d r 中，dT 0 。
i 1
d T dW Fi FNi d ri 0
对于定常双面约束，可取微小实位移作为虚位移，即
F F d r F d r F
约束方程（Contraint equations）：
限制条件的数学方程式。
例：
O l φ A (x , y) 图 15-1
O 图 15-2
x
y r A(x1 , y1) l B(x2 , y2) x
y R

C xCxFra bibliotekO 图 15-3
y
x y l
2 2
2
2 2 2 x2 x1 y2 y1 l y2 0 x y r
15 虚位移原理及应用
质点系可分为自由质点系和非自由质点系。 自由质点系：
质点系的各质点不受任何限制，可以在空间自
由运动，它们的运动轨迹决定于质点系的外力和内 力。例如，各星体组成的太阳系。 非自由质点系： 质点系的各质点受到一定限制，在空间不能自
由运动，它们的位置或速度必须遵循一定的限制条
件。例如，用刚杆连接的两质点，它们之间的距离 保持不变。
15.2.4.2 解析法
通过变分运算建立虚位移间的关系。一般情况下 ，将质点系中各质点的矢径或直角坐标先表示为广义 坐标的函数，再通过一阶变分，可得
ri ri d ri d q1 d q2 q1 q2
ri d qk qk
i 1,
2,
, n
xi xi d xi d q1 d q2 q1 q2 yi yi d yi d q1 d q2 q1 q2 zi zi d zi d q1 d q2 q1 q2
为静力学普遍方程。虚位移原理是虚功原理之一。
必要性证明： 系统处于静止状态，则系统内每个质点必须处 于静止。系统内任一质点的主动力 Fi 和约束反力
FNi 应满足平衡条件 Fi FNi 0
给系统一组虚位移 d ri（i = 1, 2, …, n），每个质点 上作用力虚功之和等于零。
Fi FNi d ri 0
Q
B
（b）
质点系的虚位移是一组虚位移，而且彼此并不 独立；不同位置，质点或质点系的虚位移并不相同， 虚位移必须指明给定的位置（或瞬时）。虚位移必须 为约束所容许，必须是无限小的。
虚位移是人为假设的，并非真实的位移。 在系统的约束所容许的前提下，可以给定系统任 意虚位移。同时虚位移又完全取决于约束的性质及其 限制条件，不是虚无飘缈，也不可随心所欲地假设。 实位移取决于作用于系统上的主动力以及所经历 的时间，其位移可以是无限小的，也可以是有限值， 其方向是惟一的。 虚位移与主动力和时间无关，虚位移只能是无限 小值，方向却可以不止一个。
xi d qk qk yi d qk qk zi d qk qk
(i 1, 2,
, n)
d q i 称为广义虚位移（Generalized virtual displacement）
15.3 虚位移原理 15.3.1 虚功（Virtual work） 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功。设 作用于质点上的力F，质点的虚位移为d r ，则力F在
v d t。
两质点无限小位移大小之比等于两点速度大小之比。 两质点虚位移大小之比等于对应点虚速度大小之比。 可以应用运动学中的速度分析方法（如瞬心法、速度 投影法、速度合成定理等）去建立虚位移间的关系。
例如图15-4（a）中，连杆AB作平面运动，其瞬
心为P，A、B两点虚位移大小之比为
d rA AP d AP d rB BP d BP
F F d r
i 1 i Ni i i 1
n
n
Fi d ri FNi d ri 0
i 1
n
理想约束

i 1
n
FN i d ri 0
故

i 1
n
Fi d ri 0
充分性证明： 反证法。设在 Fi d ri 0条件下，系统不平
j 1, 2, , s
（15-1）
约束方程中显含坐标对时间的导数，称运动约 束。 约束方程中不显含坐标对时间的导数，称几何 约束。
完整约束（Holonomic constraint）： 运动约束能积分成有限形式的约束。
R 0 可以积分为 例如约束方程 xC xC R 常数，故为完整约束。
2 1 2 1 2
yC R
R 0 xC