2、解析法 将C、A、B点的坐标表示成 广义坐标 的函数，得 对广义坐标 求变分，得各点 虚位移在相应坐标轴上的投影：
xC acos , yC asin x A l cos , y A lsin x B 2acos , y B 0
xC asin , yC acos x A lsin , y A l cos x B 2asin , y B 0
Fi Ni 0
对质点Mi 的任一虚位移 ri ，有( Fi Ni ) ri 0
对整个质点系： ( Fi Ni ) ri 0
F i ri N i ri 0
由于是理想约束 所以
Ni ri 0
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第十六章
虚位移原理
§13–1
§13–2 §13–3 §13–4 §13–5
约束及其分类
自由度 广义坐标
虚位移和虚功 理想约束 虚位移原理
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§13-1
一、约束及约束方程
约束及其分类
限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。 将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。 例如：
曲柄连杆机构
平面单摆
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13.3.4 虚位移的分析计算 质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系, 确定这 些关系通常有两种方法： (一) 几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，即
dr v dt 因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。
任意一组虚位移除以 dt ，便得到一组具有速度量纲的量， 我们将其称为虚拟速度。虚拟速度是在时间固定的条件下， 系统可能出现的一组瞬时速度。显然，任意一组虚拟速度满 足系统的约束，并且各点的虚拟速度与各点的虚位移方向相 同、大小成比例。因此，我们可以将任一组虚位移看成系统 的一组瞬时速度（在时间固定的条件下），进而可用速度分 析的方法来分析虚位移。
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得 出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研 究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理 相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。
1、几何法 rC a rA l rC PC a 1 rB PB 2asin 2sin
PC PC OC 1 PB 2 PB 2 2 CD 2 CD OC
P点为BC速度瞬心
rC PC t
rB PB t
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rC a , rA l xC asin , yC acos x A lsin , y A l cos x B 2asin , y B 0
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一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由
度，取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的 坐标及矢径可表为广义坐标的函数。
xi xi (q1 , q2 ,, qk ) yi yi (q1 , q2 ,, qk ) zi zi (q1 , q2 ,, qk ) ri ri (q1 , q2 ,, qk )
(i 1,2,, n)
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§13-3
可能位移、实位移、虚位移
在 dt 时间内产生、满足所有约束条件的位移称为系统的可能位移。 如果可能位移还满足系统的运动微分方程和初始条件，则一定是系统的 一组真实运动位移，称为系统的实位移。
在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为约束 允许的任意的无限小位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位 移。等时位移的发生不需要时间，这在实际中是不可能的，因此，我们
x2 y 2 l 2
x A2 y A2 r 2
( xB xA )2 ( yB y A )2 l 2 , yB 0
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二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通 常按如下分类： 1、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。
(i 1,2, n)
zi zi zi z i q1 q 2 q k q1 q2 qk
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[例1] 分析图示机构在图示位置时，
点C、A与B的虚位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l ) 解：此为一个自由度系统，取 OA杆与x 轴夹角为广义坐标。
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(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数 （ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1 ,q2 , ,qk ，各 质点的虚位移 ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi yi
xi xi xi q1 q 2 q k q1 q2 qk yi yi yi q1 q 2 q k q1 q2 qk
Hale Waihona Puke 刚杆绳的约束称为双面约束。只能限
制质点或质点系单一方向运动 的约束称为单面约束。
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x2 +y2 =l 2
x2 +y2 l 2
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况， 其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质 点系的质点个数）
k 3n s
通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用 适当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个 约束方程方便得多。 用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束情 况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) x1 y1 a 2 ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 b 2
2 2
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
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力 F 在质点发生的虚位移 r 上所作的功称为虚功，记为 W 。
W F r W Xx Yy Zz
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13.5 虚位移原理
1 理想约束
定义：如果质点系所有质点 mi 所受的约束力合力 FNi ，在任 何一组虚位移δri 上的虚功之和为零，则称该系统具有理想约 束。 质点系受有理想约束的条件：
WN F Ni ri 0
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理想约束的典型例子如下： 1、光滑支承面
2、光滑铰链
WN N r 0
3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索
WN N r N 'r 0
5、刚体在粗糙面上的纯滚动
WN ( N F ) rC 0
将这种满足约束的等时位移 δ ri , i=1,2, ,称为系统的一组虚位移。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符
号 表示虚位移。
M
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虚位移与真正运动时发生的实位移不同。
虚位移:只满足瞬时约束、在约束容许的条件下可能发生的的位移，是微
小位移，只是纯几何的概念，完全与时间无关----不需要时间，等时位移。 视约束情况可能有几种不同的方向。
其自由度为 k=3n-s 。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目， 称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。 例如, 前述曲柄连杆机构例子中, 确定曲柄连杆机构位置的四 个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程,因此有一个自由度。 10
一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为
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虚位移原理
设Ｎ个质点组成的完整系统，具有定常、双面的理想约束，原 处于静止状态，则此系统保持平衡（静止）的充要条件是：主 动力系在系统的任何一组虚位移上所作的虚功之和等于零。
Fi ri 0
解析式：
( X ixi Yiyi Zizi ) 0
称为系统的虚功方程
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证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有 Fi ri 0 ∵质点系处于平衡 ∴选取任一质点Mi也平衡。 （主动力和约束反力）
f j ( x1 , y1 ,z1; ;xn , yn ,zn )0
( j 1,2, ,s)
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§13-2
广义坐标与自由度
定义：能决定系统几何位置的、彼此独立的一组时间变量称为该 系统的广义坐标，或称独立坐标。 定义：广义坐标对时间的导数称为广义速度
一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z ) 3个 一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 3n个 对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独立坐标。
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例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， x A r 0 是微分方程，但
经过积分可得到 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。
x A r C （常数），该约束仍为完整约束。
非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。 4、单面约束和双面约束 在两个相对的方向上同时 对质点或质点系进行运动限制
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例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
x A r cos , y A r sin xB r cos l 2 r 2 sin 2 , y B 0
广义坐标选定后， 质点系中每一质点的直 角坐标都可表示为广义
坐标的函数。
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例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几
何约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约