函数的单调性
1.单调性与单调区间：
例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ）
A ．()f x =1x
B ．()f x =2(1)x -
C ．()f x =x e
D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1
2y x =，②12
log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间
(0,1)上单调递减的函数序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
例2.函数2()21
x f x x -=
-的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________
演变1.
函数()f x =__________
例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________
演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________
2.利用单调性求参数范围：
例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______
演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1
)(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________
例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a
a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩为R 上的减函数，则a 的取值范围为_______ 演变1.已知函数(2)1,1(),1x a x x f x a x -+<⎧=⎨
≥⎩是R 上的增函数，那么a 的取值范围是______ 3.利用单调性求最值：
例1.
函数y =的值域为
演变1.已知()f x 的值域为34
[,]89
，则()y f x =的值域为
演变2.函数)10(12<<-=x x x y 的最大值为_______，此时x =_______
演变3.函数x
x x x f sin 1cos sin 2)(2+=的值域为 . 例2.函数4y x x
=+的值域为 演变1.函数231x x y x
++=的值域为 4.利用单调性解不等式：
例1.已知函数)(x f y =是定义在区间[0，1)上的增函数，若0)4()2(2<---a f a f ，则实数a 的取值范围为__________
演变1.已知)(x f 为R 上的减函数，则满足1(||)(1)f f x
<的实数x 的取值范围是__________ 例2.设函数0021
,1)(0
,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是___________________. 演变1.设函数2 2()2 2.3
x x f x x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪+⎩，，， 若0()1f x >，则0x 的取值范围是 演变2.若函数1,0()1(),03
x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________. 5.与单调性有关的恒成立问题：
例1.已知函数)(x f 是定义在(,3]-∞上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为
演变1.已知函数()
lg 2,(x y b b =-为常数），若[)1,x ∈+∞时，0y ≥恒成立。

则实数b 的取值范围
演变2.定义在(1,0)-上的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是_____ 演变3.函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+
⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 .
演变4.己知()2()lg 2lg f x x m x n =+++，且()12f -=-，又()2f x x ≥对任意x R ∈均成立，则m n +=________________________.
强化练习
1.若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[-1,0] B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞
2.函数y =()63a -≤≤的最大值为( )
A.9
B.92
C.3 3.已知)(x f 为R 上的减函数，则满足)1()1
(f x f >的实数x 的取值范围是（ ）
A.（-∞，1）
B.（1，+∞）
C.（-∞，0）⋃（0，1）
D.（-∞，0）⋃（1，+∞）
4.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()F x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3] B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3
5.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩
，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞
6.已知函数()()()()2222
22,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ，则A B -=（ ）
(A)2216a a -- (B)2216a a +- (C)16- (D)16
7.若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞，则a =________
8.若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数
()(14g x =-在[0,)+∞上是增函数，则a =____.
9.已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x x g ，若R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ，
则m 的取值范围是_________
10.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x
g x =-，若同时满足条件：
（1）x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；（2）(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则m 的取值范围是________.
答案：D 、B 、D 、B 、C 、B 、6-、14、)0,4(-、(4,2)--。