江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习
教案
导学目标：
①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；
②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题．
自主梳理
1.增函数和减函数 一般地，设函数()f x 的定义域为I ：
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________.
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________.
2.单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________，就说这个函数在这个区间M 上具有_____________（区间M 称为____________）。

3.最大（小）值 （前面已复习过）
4.判断函数单调性的方法
（1）定义法：利用定义严格判断。

（2）导数法 ①若()f x 在某个区间内可导，当'()0f x >时，()f x 为______函数；当
'()0f x <时，()f x 为______函数。

②若()f x 在某个区间内可导，当()f x 在该区间上递增时，则'()f x ______0，当()f x 在
该区间上递减时，则'()f x ______0。

（3）利用函数的运算性质：如若(),()f x g x 为增函数，则①()()f x g x +为增函数； ②1
()f x 为减函数（()0f x >）；③()f x 为增函数（()0f x ≥）；④()()f x g x 为增 函数（()0,()0f x g x >>）；⑤()f x -为减函数。

（4）利用复合函数关系判断单调性
法则是“___________”即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为_______，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为_______，
（5）图像法
（6）奇函数在两个对称区间上具有____的单调性；偶函数在两个对称区间上具___的单调性； 自我检测
1.设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则a 的取值范围为 .
2．已知函数)(x f y =在定义域R 上是单调减函数，且
)1(|)1(|f x f >，则实数x 的取值范
围是 . 3． 函数
2()45f x x mx =-+在区间[2,)-+∞上是增函数，在区间]2,(--∞上是减函数，则)1(f = ．
4．已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是_____
5．函数132+-=
x x y 在区间)1,(--∞上是单调________函数.（填“增”或“减”）
探究点一 函数单调性的判断及应用：
【例1】已知函数
,1)(2ax x x f -+=其中.0>a 若),1()1(2-=f f 求a 的值；
证明：当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上为单调减函数；
若函数)(x f 在区间),1[+∞是增函数，求a 的取值范围
探究点二 求函数的单调区间：
【例2】求函数)
23(log 221+-=x x y 的单调区间.
变式训练：(1)求函数
62-+=x x y 的单调区间. (2)求函数
)352(log )(2+-=x x x f a 的单调区间. 探究点三 函数单调性的应用：
【例3】（1）若)(x f 是R 上的增函数，则满足
)()2(2m f m f <-的实数m 的取值范围是 .
(2)已知函数)(x f y =是偶函数，)2(-=x f y 在[0,2]上是单调减函数，则)2(),0(),1(f f f -的大小顺序是 .
(3)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.0,2,0,2)(22x x x x x x x f 若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围
是 .
探究点四 抽象函数的单调性：
﹡【例4】函数)(x f 对任意的a,b ∈R ，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，并且当x>0时，)(x f >1.
(1).求证：)(x f 是R 上的增函数；
（2）.若5)4(=f ，解不等式
3)23(2<--m m f .
1．给出如下三个函数：①)2ln(+=x y ；②1+-=x y ；③
x x y 1+=.其中在区间)
,0(+∞内为增函数的是 (写出所有增函数的序号)
2．已知函数)(x f 是定义在),0[+∞上的函数，且在该区间上单调递增，则满足不等式)31()12(f x f <-的x 的取值范围是 .
3．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=,2,)1(,2,)21()(x k x k x k x f x 对于任意的21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f ，则k
的最大值为 .
4.设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线1=x 对称，且当1≥x 时，
,13)(-=x x f 则)23(),32(),3
1(f f f 从小到大的顺序为 .。