根据公式可以看出,图像畸变的大小与像素点的位置有关,畸变关于中 心点对称,图像的边缘点处畸变最大。
三、几何畸变校正
图像几何校正的基本方法是：先建立几何校正的数学模型，然后 利用已知条件确定模型参数，最后根据模型对畸变图像进行校正。 通常分两步： ① 图像空间坐标变换：首先建立图像像素坐标（行、列号）和物 方（或参考图）对应点坐标间的映射关系，求解映射关系中的未知参 数，然后根据映射关系对图像各个像素坐标进行校正； ② 确定各像素的灰度值（灰度内插）。
其中,(x,y)是理想图像的坐标,而 x , y 是图像畸变后的坐标。 图像几何畸变校正基本原理： 将几何畸变量x和y用含参数的模型来表示，根据畸变公式将理 想坐标表示成包含畸变坐标和畸变参数的等式，再利用理想坐标点在 成像模型中的约束条件或者其他几何约束条件，求解得到相应的畸变 参数，最后再根据畸变公式计算出图像中所有点的理想坐标，将所有 点移动到理想位置，实现图像几何崎变的校正。
i 0 j 0
n n i
n
n i
y bij x i y j
i 0 j 0
其中aij，bij为待定系数。 确定aij和bij的方法有： 线性校正 二元二次多项式校正 三次多项式校正

线性校正：
对二元多项式
x aij x i y j
i 0 j 0

径向畸变的x与y的偏移量描述如下:

其中k1与k2为径向畸变系数,
（2）离心畸变：

离心畸变形成是由于镜头部分的光学中心并不能严格地保持共线所 造成的，表现在图像在切线方向上出现偏离。

离心畸变可用如下公式表示:

其中，p1与p2为离心畸变系数。
（3）薄棱镜畸变：

薄棱镜畸变主要是由镜头设计、生产以及摄像机组装过程中的缺陷 引起的，比如说镜头或图像感应阵列的微小倾斜造成的，一般来说 其畸变现象比较细微：
x f y 0 1 0 0 f 0 0 X 0 Y 1 Z
2. 畸变模型：


成像光学系统（包括广角镜头）由于设计、加工工艺以及安装等因素， 导致所拍摄的图像产生很大的畸变，主要包括： 径向畸变 离心畸变 薄棱镜畸变 一般的非线性模型公式:

其中，s1与s2为薄棱镜畸变系数。
（4）畸变分析：

综合上面的三种畸变,可以得到畸变总公式如下:

由Tsai结论得出:对于摄像机的非线性畸变,建立模型时不宜引入过多 的参数,参数过多时稳定度和精度都会降低。一般来说,径向畸变已经 足够描述广角镜头成像系统的非线性畸变,因此在这里我们只考虑径 向畸变模型。


从基准图上找出三个点(r1,s1),(r2,s2),(r3,s3) ，它们在畸变图像上对应 的三个点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)； 把上述三对点坐标带入以下公式：
x a00 a10 x a01 y
y b00 b10 x b01 y

写成矩阵形式：
x1 1 r1 x 1 r 2 2 x3 1 r3 y1 1 r1 y 1 r 2 2 y3 1 r3 s1 a00 a s2 10 s3 a01 s1 b00 b s2 10 s3 b01
1. 相机成像模型：

针孔模型是理想的投影成像模型,满足光的直线传播条件。即当光线照 射到物体表面时，反射光透过一个针孔在成像平面上成像。

Q点为空间中的一点，q点为成像平面上的相对应的点，由此可以得到 二者之间的对应关系，公式如下所示：
x f X Z y f Y Z

针孔模型为线性模型，用矩阵表示如下：

通过解联立方程或矩阵求逆，可得到各系数，从而确定了畸变公式， 进一步可采用间接法来校正畸变图像。

二元二次多项式校正： 当n=2时，畸变公式变为二元二次多项式，可用来描述理想图像坐标 点( x,y)和畸变图像坐标(x’,y’ )之间的关系，数学表达式为：
x a00 a10 x a01 y a20 x2 a11 xy a02 y 2

（1）最近邻插值 最近邻插值法(NearestNeighbor)又称泰森多边形方法,是荷兰气象学家 A.H.Thiessen提出的一种分析方法。最初用于从离散分布气象站的 降雨量数据中计算平均降雨量,现在GIS和地理分析中经常采用泰森多 边形进行快速的赋值。 最近邻插值是最简单的灰度插值方法,不需要计算,在待求像素的四邻像 素中,将距离待求像素最近的像素灰度赋给待求像素，即可实现最近 邻插值。假设在已经校正的图像中有一像素点(i+u,j+v),其中i和j表示 整数部分,u和v表示小数部分,设待求像素点的周围四近邻像素点构成 区域如图所示:如果(i+u, j+v)落在A区,即u<0.5,v<0.5,则将左上角象素 的灰度值赋给待求象素;u>0.5, v<0.5,落在B区,则赋予右上角的像素 灰度值;u<0.5,v〉0.5,落在C区,则赋予左下角象素的灰度;u>0.5,v>0.5, 落在D区,则赋予右下角象素灰度值。 待求像素的数学表达式如下:
间接法内插像素灰度比较容易，所以一般采用间接法 Nhomakorabea行几何校正。

（3）h1(x,y)和h2(x,y)的确定：

通常用基准图像和几何畸变图像上多对同名像素的坐标来确定； 假定基准图像像素坐标(x,y)和畸变图像对应像素坐标（x’,y’）之间的 关系用二元多项式来表示：
x aij x i y j

几何校正方法可分为直接法和间接法两种。
（1）直接法
( x, y ) x h1 ( x, y ) x h1 由 推导出 ，然后从畸 ( x, y ) y h 2 ( x, y ) y h2
变图像出发，依次计算每个像素的校正坐标值，保持各像素 灰度值不变，这样便生成一幅校正图像。 校正图像的像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏 密不均等现象，还需对此不规则图像通过灰度内插生成规则 的栅格图像。
图像校正技术
一、概述


在图像的获取或显示过程中往往会产生各种失真（畸变）： 几何形状失真 灰度失真 颜色失真 引起图像失真的原因有： 成像系统的象差、畸变、带宽有限、拍摄姿态、扫描非线性、相 对运动等; 传感器件自身非均匀性导致响应不一致、传感器件工作状态、非 均匀光照条件或点光源照明等； 显示器件光电特性不一致； 图像畸变的存在影响视觉效果，也是影响图像检测系统的形状检测和 几何尺寸测量精度的重要因素之一。 图像校正是指对失真图像进行的复原性处理。
（3）三次多项式校正 三次卷积法也是一种很实用的灰度插值方法,如果在校正后能找到与待 求像素邻近的16个像素点,就可以采用此法。 假设待求像素为图中空心点所示,其邻近的16个像素点如图中实心点所 示: 将16个邻点排成矩阵B,
则待求像素的灰度值为: 式中， 其中s(x)函数为三次多项式,其求解公式为：
n
n
n i
y bij x i y j
i 0 j 0
n i
当n=1时，畸变关系简化为线性变换，
x a00 a10 x a01 y
y b00 b10 x b01 y
上述式子中包含a00、a10、a01 、b00、b10、b01共6个未知数，至少需要3个 已知点来建立方程式，解求未知数。
y b00 b10 x b01 y b20 x2 b11 xy b02 y 2
式中包含12个未知数，因此至少需要6对已知同名像素坐标； 可采用曲面拟合的方法对选择的控制点进行拟合，从而用最小二乘法 计算出待定系数。 为了提高畸变校正的精度，需要使得拟合误差平方和 ε 最小，需要满 足以下公式：
（2）间接法

设经校正的图像像素在基准坐标系统中为等距网格的交叉点，从网格 交叉点的坐标(x,y)出发计算出在已知畸变图像上的坐标(x’,y’)，即
x h1 ( x, y ) y h 2 ( x, y )

显然点(x,y)坐标为整数，但(x’,y’)一般不为整数，不会位于畸变图像 像素的中心，因而在畸变图像上不能直接确定该像素的灰度值，而只 能由其在畸变图像的周围像素灰度内插求出，作为对应像素(x,y)的灰 度值，据此获得校正图像。

二元多项式法原理比较简单且容易理解，同时对于畸变图像的校正精 度比较高。畸变图像校正的精度与选用的多项式次数有关。当选择的 多项式次数越高时，坐标点的位置拟合的误差便越小，但并不是次数 越多越好，增加次数会使得公式的计算量剧增，从而增加算法在实际 操作过程中难度。
2. 灰度级插值


在输入图像f(x,y)中，灰度值仅在整数位置(x,y)处有定义。 然而，经过空间坐标变换处理所得的新图像g(x,y)的灰度值一般由处 在非整数坐标上的f(x,y)的值来决定。 坐标变换是从f到g的映射，则f中的一个像素会映射到g中几个像素之 间的位置，反之亦然。 数字图像中的坐标总是整数。在前面章节所述的图像校正部分中,经 过倾斜校正和畸变校正计算出来的坐标可能不是整数。此时,非整数 处的像素值就要用其周围的一些整数坐标处的像素值来判断。用于该 任务的技术称为灰度插值。灰度插值常用方法有:最近邻插值、双线 性法和三次卷积法
（1）径向畸变：


径向畸变产生的原因主要是因为光学镜头径向曲率的不稳定引起图像 发生变形，表现在图像点从它的理想位置向内或向外的移动； 这种变形与距离有关，图像点离中心距离越大，变形越大；
图像点的畸变关于中心对称，空间中的一条直线经过径向畸变后，变 成一条外凸或内凹的曲线，即，径向畸变有两种形式：桶形畸变和枕 形畸变，两种畸变的形状如下图所示。