式中包含12个未知数，因此至少需要6对已知同名像素坐标； 可采用曲面拟合的方法对选择的控制点进行拟合，从而用最小二乘法
计算出待定系数。 为了提高畸变校正的精度，需要使得拟合误差平方和 ε 最小，需要满
足以下公式：
二元多项式法原理比较简单且容易理解，同时对于畸变图像的校正精 度比较高。畸变图像校正的精度与选用的多项式次数有关。当选择的 多项式次数越高时，坐标点的位置拟合的误差便越小，但并不是次数 越多越好，增加次数会使得公式的计算量剧增，从而增加算法在实际 操作过程中难度。
图像校正技术
一、概述
在图像的获取或显示过程中往往会产生各种失真（畸变）： 几何形状失真 灰度失真 颜色失真
引起图像失真的原因有： 成像系统的象差、畸变、带宽有限、拍摄姿态、扫描非线性、相 对运动等; 传感器件自身非均匀性导致响应不一致、传感器件工作状态、非 均匀光照条件或点光源照明等； 显示器件光电特性不一致；
s2
a10
s3 a01
y1 y2
b00 b00
b10r1 b10r2
b01s1 b01s2
y3 b00 b10r3 b01s3
y1 1 r1
y2
1
r2
y3 1 r3
s1 b00
s2
b10
s3 b01
通过解联立方程或矩阵求逆，可得到各系数，从而确定了畸变公式， 进一步可采用间接法来校正畸变图像。
Q点为空间中的一点，q点为成像平面上的相对应的点，由此可以得到 二者之间的对应关系，公式如下所示：
x f X Z
y f Y Z
针孔模型为线性模型，用矩阵表示如下：
x f 0 0 X y 0 f 0 Y 1 0 0 1 Z
2. 畸变模型：
成像光学系统（包括广角镜头）由于设计、加工工艺以及安装等因素， 导致所拍摄的图像产生很大的畸变，主要包括： 径向畸变 离心畸变 薄棱镜畸变
1. 空间坐标变换
实际工作中常以一幅图像或一组基准点为基准，去校正几何失真图 像。通常设基准图像f(x,y)是利用没畸变或畸变较小的摄像系统获得的，
而有较大几何畸变的图像用g(x´,y´)表示：
设两幅图像几何畸变的关系能用解析式来描述：
x h1 (x, y)
y h2 (x, y)
几何校正方法可分为直接法和间接法两种。
（2）间接法
设经校正的图像像素在基准坐标系统中为等距网格的交叉点，从网格 交叉点的坐标(x,y)出发计算出在已知畸变图像上的坐标(x’,y’)，即
x y
h1 h2
( (
x, x,
y) y)
显然点(x,y)坐标为整数，但(x’,y’)一般不为整数，不会位于畸变图像 像素的中心，因而在畸变图像上不能直接确定该像素的灰度值，而只 能由其在畸变图像的周围像素灰度内插求出，作为对应像素(x,y)的灰 度值，据此获得校正图像。
（1）直接法
由
x y
h1 h2
( x, ( x,
y) y)
推导出
x h1(x, y)
y
h2
(
x,
y)
，然后从畸
变图像出发，依次计算每个像素的校正坐标值，保持各像素 灰度值不变，这样便生成一幅校正图像。
校正图像的像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏 密不均等现象，还需对此不规则图像通过灰度内插生成规则 的栅格图像。
双线性内插法的计算比最邻近点法复杂且计算量大,但双线性插值能 极大地消除锯齿现象,且没有灰度不连续的缺点,结果基本令人满意。 双线性插值方法的缺点是它具有低通滤波性质,使高频分量受损,图像 轮廓可能会有一点模糊。
三次卷积法计算量较大,精度高,能保持较好的图像边缘细节,图像插值 后的效果最好。
i0 j0
n ni
y
bij xi y j
i0 j0
其中aij，bij为待定系数。 确定aij和bij的方法有：
线性校正
二元二次多项式校正
三次多项式校正
线性校正：
对二元多项式
n ni
x
aij xi y j
i0 j0
n ni
y
bij xi y j
i0 j0
当n=1时，畸变关系简化为线性变换，
求像素邻近的16个像素点,就可以采用此法。 假设待求像素为图中空心点所示,其邻近的16个像素点如图中实心点所
示: 将16个邻点排成矩阵B,
则待求像素的灰度值为: 式中， 其中s(x)函数为三次多项式,其求解公式为：
（4）比较
最邻近插值方法计算量较小,但可能会造成插值生成的图像灰度上的 不连续,在灰度变化的地方可能出现明显的锯齿状。
二元二次多项式校正： 当n=2时，畸变公式变为二元二次多项式，可用来描述理想图像坐标
点( x,y)和畸变图像坐标(x’,y’ )之间的关系，数学表达式为：
x a00 a10 x a01 y a20 x2 a11xy a02 y2
y b00 b10 x b01 y b20 x2 b11xy b02 y 2
x a00 a10 x a01 y y b00 b10 x b01 y
上述式子中包含a00、a10、a01 、b00、b10、b01共6个未知数，至少需要3个 已知点来建立方程式，解求未知数。
从基准图上找出三个点(r1,s1),(r2,s2),(r3,s3) ，它们在畸变图像上对应的 三个点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)；
待求像素的数学表达式如下:
（2）双线性插值
双线性插值是线性插值函数的扩展,它是一种具有两个变量的线性插 值函数。双线性插值的核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值, 其示意图如下:
假设在待求点的像素坐标为(i+u,j+v)，且其四个最近邻点坐标分别 为:A, B,C和D,且其灰度值分别为g(A),g(B),g(C)和g(D)。 在X轴方向对AB段线性插值方法得到E点的灰度值:
（1）最近邻插值
最近邻插值法(NearestNeighbor)又称泰森多边形方法,是荷兰气象学家 A.H.Thiessen提出的一种分析方法。最初用于从离散分布气象站的降 雨量数据中计算平均降雨量,现在GIS和地理分析中经常采用泰森多边 形进行快速的赋值。
最近邻插值是最简单的灰度插值方法,不需要计算,在待求像素的四邻像 素中,将距离待求像素最近的像素灰度赋给待求像素，即可实现最近 邻插值。假设在已经校正的图像中有一像素点(i+u,j+v),其中i和j表示整 数部分,u和v表示小数部分,设待求像素点的周围四近邻像素点构成区 域如图所示:如果(i+u, j+v)落在A区,即u<0.5,v<0.5,则将左上角象素的灰 度值赋给待求象素;u>0.5, v<0.5,落在B区,则赋予右上角的像素灰度 值;u<0.5,v〉0.5,落在C区,则赋予左下角象素的灰度;u>0.5,v>0.5,落在D 区,则赋予右下角象素灰度值。
图像畸变的存在影响视觉效果，也是影响图像检测系统的形状检测和 几何尺寸测量精度的重要因素之一。
图像校正是指对失真图像进行的复原性处理。
二、图像几何失真
图像在获取过程中，受镜头制造精度、成像系统本身的非线性以及 拍摄角度等因素的影响，会使获得的图像出现不同程度的几何位置、 尺寸、形状、方位等畸变，产生几何失真。
把上述三对点坐标带入以下公式：
x a00 a10 x a01 y
y b00 b10 x b01 y
写成矩阵形式：
xx21
a00 a00
a10r1 a10r2
a01s1 a01s2
x3 a00 a10r3 a01s3
x1 1 r1
x2
1
r2
x3 1 r3
s1 a00
2. 灰度级插值
在输入图像f(x,y)中，灰度值仅在整数位置(x,y)处有定义。 然而，经过空间坐标变换处理所得的新图像g(x,y)的灰度值一般由处
在非整数坐标上的f(x,y)的值来决定。 坐标变换是从f到g的映射，则f中的一个像素会映射到g中几个像素之
间的位置，反之亦然。
数字图像中的坐标总是整数。在前面章节所述的图像校正部分中,经 过倾斜校正和畸变校正计算出来的坐标可能不是整数。此时,非整数 处的像素值就要用其周围的一些整数坐标处的像素值来判断。用于该 任务的技术称为灰度插值。灰度插值常用方法有:最近邻插值、双线 性法和三次卷积法
几何失真： 系统失真：有规律的、能预测的； 非系统失真：具有随机性；
当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精确的几何校正 （即将存在几何失真的图像校正成无几何失真的图像），以免影响 定量分析的精度。
1. 相机成像模型：
针孔模型是理想的投影成像模型,满足光的直线传播条件。即当光线照 射到物体表面时，反射光透过一个针孔在成像平面上成像。
径向畸变的x与y的偏移量描述如下:
其中k1与k2为径向畸变系数,
（2）离心畸变： 离心畸变形成是由于镜头部分的光学中心并不能严格地保持共线所
造成的，表现在图像在切线方向上出现偏离。
离心畸变可用如下公式表示:
其中，p1与p2为离心畸变系数。
（3）薄棱镜畸变： 薄棱镜畸变主要是由镜头设计、生产以及摄像机组装过程中的缺陷
间接法内插像素灰度比较容易，所以一般采用间接法进行几何校正。
（3）h1(x,y)和h2(x,y)的确定：
通常用基准图像和几何畸变图像上多对同名像素的坐标来确定；
假定基准图像像素坐标(x,y)和畸变图像对应像素坐标（x’,y’）之间的 关系用二元多项式来表示：
n ni
x
aij xi y j
引起的，比如说镜头或图像感应阵列的微小倾斜造成的，一般来说 其畸变现象比较细微：
其中，s1与s2为薄棱镜畸变系数。
（4）畸变分析： 综合上面的三种畸变,可以得到畸变总公式如下: