高中数学必修四检测题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 、在下列各区间中，函数y =sin （x ＋4π
）的单调递增区间是（ ）
A.［2π，π］
B.［0，4π］
C.［－π，0］
D.［4π，2π］
2 、已知sin αcos α=81,且4π<α<2π
，则cos α－sin α的值为 （ ）
(A)2
3 (B)4
3 (C)
32-
(D)±
2
3
3 、已知sin cos 2sin 3cos αα
αα-+=51,则tan α的值是 （ ）
(A)±83 (B)83 (C)8
3-
(D)无法确定
4 、 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，的简图是（ ）
5 、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数
cos y x π⎛
⎫=- ⎪
3⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π
6个单位
6 、函数π
πln cos 2
2y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）
7 、设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b += （A
（B
（C
） （D ）10
8 、 已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ．
6563 B ．65 C ．5
13 D ．13 9、 计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( ) A.12
B.33
C.22
D.32 10、已知sin α＋cos α= 1
3 ，则sin2α=
（ ）
A ．89
B ．－89
C ．±89
D ．322
11 、已知cos(α－π
6)＋sin α＝4
53，则sin(α＋7π
6)的值是 ( )
A ．－
235 B.235 C ．－45 D.4
5
12 、若x = π
12 ，则sin 4x －cos 4x 的值为
（ ）
A ．21
B ．21-
C ．23-
D ．2
3
x
x
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分. 把正确答案填在题中横线上.
13 、若)sin(2)(ϕω+=x x f （其中2
,0π
ϕω<
>）的最小正周期是π，且1)0(=f ，则
=ω ，=ϕ 。

14、设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______.[
15、函数)
62sin()(π
-
=x x f 的单调递减区间是
16、函数
π()3sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭的图象为C ，则如下结论中正确的序号是 _____ ①、图象C 关于直线
11π12x =对称； ②、图象C 关于点2π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，
对称； ③、函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪
⎝⎭，内是增函数； ④、由3sin 2y x =的图角向右平移π
3个单位长度可以得到
图象C ．
三、解答题：本大题共6题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、（12分）已知向量 = , 求向量b ，使|b|=2| |，并且 与b 的夹角为 。

18、（12分）若0,02
2π
π
αβ<<-
<<
，1cos ,cos 4342ππβα⎛⎫⎛⎫
+=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.
19、（12分）
设
2
()6cos 2f x x x =-． （1）求()f x 的最大值及最小正周期；（2）若锐角α
满足()3f α=-，求
4
tan 5α
的值．
20、（12分）
如右图所示函数图象，求)sin()(ϕω+=x A x f （π
ϕω<>,0）的表达式。

21、设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．
（1）试求向量2AB ＋AC 的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角； （3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．
22、（14分）已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且
函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π
2
． （Ⅰ）求π8f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π
6
个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．
答案
1-5BCBAA 6-10ABAAB 11-12CC 13、 2 6
π 14、2 15、z k k k ∈++],6
5,
3
[
ππ
ππ
16、①②③ 17、由题设
, 设 b=
, 则由
,得
. ∴
,
解得 sin α=1或 。

当sin α=1时，cos α=0；当 时， 。

故所求的向量 或。

18、
9
3
5 19、1）
1cos 2()6322
x
f x x
+=⋅
3cos 2323x x =-+ 31232sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭23236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故()f x 的最大值为233；
最小正周期22T π
=
=π．21世纪教育网 ☆
（2）由()323f α=-23233236απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 21
6απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．
又由
02απ<<
得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得
512α=π
． 从而4tan tan 353απ
==
20、)4
2sin(2π
+
=x y
21、（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50．
（2）∵ |AB |＝2
21)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，
AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．
∴ cos θ |
|||AC AB AC AB ⋅＝
26
24⋅＝
13
13
2． （3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x2＋y2＝1． ①
又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ②
由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==．
－555
5
2y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．
22、 解：（Ⅰ
）())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+
1
2)cos()2x x ωϕωϕ⎤=+-+⎥⎣⎦
π2sin 6x ωϕ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
因为()f x 为偶函数，
所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立， 因此ππsin()sin 6
6x x ωϕωϕ⎛⎫-+-=+-
⎪⎝
⎭
． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--
+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
整理得πsin cos 06x ωϕ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
． 因为0ω>，且x ∈R ， 所以πcos 06ϕ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
． 又因为0πϕ<<， 故ππ62
ϕ-
=． 所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛⎫
=+= ⎪⎝
⎭
． 由题意得
2π
π
2
2
ω
=，所以2ω=． 故()2cos 2f x x =．
因此ππ2cos 84f ⎛⎫==
⎪⎝⎭
（Ⅱ）文：将()f x 的图象向右平移
π
6
个单位后，得到π6f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象，
所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦． 当π
2π22ππ3k x k -
+≤≤（k ∈Z ）
， 即π2πππ63
k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减，
因此()g x 的单调递减区间为π2πππ63k k ⎡
⎤
++⎢⎥⎣
⎦
，（k ∈Z ）．。