质点运动学典型例题1． 一质点做抛体运动（忽略空气阻力），如图一所示。

求：质点在运动过程中（1）dtdV 是否变化？ （2）dtV d 是否变化？ （3）法向加速度是否变化？（4）轨道何处曲率半径最大？其数值为多少？解：（1）如图一，如果把dtdV 理解为切向加速度，即τa dt dV =，则由图二（a ）所示，ατcos g a =，显然τa 先减小后增大。

（2）g dtV d = （3）αsin g a n =（4）质点在任一点的曲率半径φρcos 22g V a V n ==，质点在运动过程中，式中的速度V,夹角φ均为变量。

故质点在起点和终点处的速度最大（0V V =）。

φ最大，φcos 最小，所以在该处的曲率半径最大。

上抛石块的位移和路程一石块以V=4.9m/s 的初速度向上抛出，经过2S 后，石块的位移y ∆________，路程S______.解：如图一，设定石块上抛的初始点为原点，竖直向上为正方向。

则其运动方程为2021gt t V y -= 2S 内的位移为m y 8.928.92129.42-=⨯⨯-⨯=，负号表明所求位移的方向为竖直向下，即物体在2S 内改变了运动方向。

先求物体到达最高点的时刻，即00=-=gt V dt dy ，S g V t 5.08.99.40=== 则总路程m L L L 25.12)5.1(8.921)5.0(8.9212221=⨯⨯+⨯⨯=+= 求解某一位置的速度质点沿x 轴正向运动，其加速度随位置变化的关系为2331x a +=，如果在x=0处，其速度为s m V /50=，那么，在x=3m 处的速度为多少？ 解：因为2331x V dx dV dt dx dx dV dt dV a +====s m V x x V x x V V dx x VdV V V /9)25333(2)23(2322)331(2320332023020=++=++=+=-+=⎰⎰宇宙速度众所周知，人造地球卫星和人造行星是人类认识宇宙的重大发展．但怎样才能把物体抛向天空，使之成为人造卫星或人造行星呢：）这取决于抛体的初速度。

有趣的是，在1687年，牛顿出版的第一部著作——《自然哲学的数学原理》中，有一幅插图。

这幅图指出抛体的运动轨迹取决于抛体的初速度，它明确地指出发射人造地球卫星的可能性，当然这种可能性在当时只是理论上的 270年后，人类才把理论上的人造卫星变成了现实1．人造地球卫星 第一宇宙速度没地球的半径为E R 、质量为E m 。

在地面上有一质量为m 的抛体，以初速1V 竖直向上发射，到达距地面高度为h 时，以速度V 绕地球作匀速率圆周运动，如略去大气对抛体的阻力，抛体最小应具有多大的速度才能成为地球卫星？如把抛体与地球作为一个系统，由于没有外力作用在这个系统上，系统的机械能守恒于是，hR Gmm mV R Gmm mV E E E E +-=-2212121 (1) 上式可写成EE E E R Gm h R Gm V V 22221++-= （2） 由牛顿第二定律和万有引力定律，有22)(h R Gmm h R V m E E E +=+ （3） 上式可写成hR Gm V E E +=2 （4） 将（4）式代入（2），得hR Gm R Gm V E E E E +-=21 已知地球表面附近的重力加速度2/EE R Gm g =，故上式为 )2(1hR R gR V E E E +-= ．上式给出了人造卫星由地面发射的速度V 1与其所应达到的高度之间的关系．卫星发射速度越大，所能达到的高度h 就越大．由上式可以看出，对于地球表面附近的人造地球卫星有h R E >>，故上式可简化为 E gR V =1其中26/8.9,1037.6s m g m R E =⨯=，可得s m V /109.731⨯=这就是在地面上发射人造地球卫星所需达到的最小速度，通常叫做第一宇宙速度．在地球表面附近的卫星（R E ）h ），由式（2）有1V V ≈.故常说，人造地球卫星环绕地球的最小速度亦为s m V /109.731⨯=把式（3）代入式（1），有)(2h R m Gm E E E +-= 上式表明，人造地球卫星的机械能是小于零的，即E ＜0．2人造行星 第二宇宙速度如果抛体的发射速度继续增大，致使抛体与地球之间的距离增加到趋于无限远时，即r=∞，这时可认为抛体已脱离地球引力的作用范围．抛体可成为太阳系的人造行星．在这种情况下，抛体在地球引力作用下的引力势能为零，即0=∞P E 、若此时抛体的动能也为零，即0=∞K E ，那么抛体在距地球无限远处的总机械能0=+=∞∞∞P k E E E ．这就是说，在抛体从地面飞行到刚脱离地球引力作用的过程中，抛体以自己的动能克服引力而作功，从而把动能转变为引力势能．由于略去阻力以及其他星体的作用力所作的功，故机械能应守恒，02122=+=-∞∞p k EE E E R m Gm mV 额中V 2是使抛体脱离地球引力作用范围，在地面发射时抛体所必须具有的最小发射速度．这个速度又叫第二宇宙速度．由上式可得第二宇宙速度为s m V gR R Gm V E EE /102.11222312⨯==== 从上述关于第二宇宙速度的讨论中可以看出，要使抛体脱离地球引力作用，只要 抛体具有不小于s m V gR R Gm V E E E /102.11222312⨯====的发射速度就行，而这时可以不考虑发射速度的方向，就能得到所要求的数值。

这是用能量观点来讨论这类问题最显著的一个优点．应当指出，若发射速度大于第二宇宙速医，这时抛体的机械能大于零．即E ＞0。

理论计算表明，这时抛体在太阳引力作用下绕太阳作椭圆轨道运动．成为人造行星。

图－绘出了在地面上水平发射的抛体，其能量与以地球为参考系的运动轨迹之间的关系．当E ＜0时，抛体的轨迹为椭圆（包括圆）；当E ＞0时．为双曲线；当E=0时，为抛物线．3 飞出太阳系 第三宇宙速度上面讲述了从地球表面发射的抛体达到或超过第二宇宙速度以后，它将外绕太阳成为太阳系中一颗人造行星。

如果我们继续增加从地球表面发射抛体的速度，并使之能脱离太阳引力的束缚而飞出太阳系，这个速度称之为第三宇宙速度，用3V 来表示。

显然，要使抛体脱离太阳系的束缚，必须先脱离地球引力的束缚，然后再脱离太阳引力的束缚。

这就是说，抛体脱离地球引力束缚后还要具有足够大的动能实现飞出太阳系的目的首先讨论抛体脱离地球引力场的情形我们把地球和抛体作为一个系统，并取地球为参考系。

设从地球表面发射一个速度为3V 的抛体，其动能为2321mV E k =，引力势能为EE R m Gm -，当抛体脱离地球引力的束缚后。

它相村地球的速度为V '，按机械能守恒定律，有2232121V m R m Gm mV E E '=-（1） 为求V '，取太阳为参考系，此抛体距太阳的距离为R S ,相对太阳的速度为1V '。

则抛体相对太阳的速度3V '应当等于抛体相对地球的速度V '与地球相对太阳的速度V E 之和，即E V V V +'='3如E V V 与'方向相同，则抛体相对太阳的速度最大，有E 3V V V +'=' （2）此后．抛体在太阳的引力作用下飞行，其引力势能为SS R m Gm -，动能为2321V m E k '=；s m 为太阳的质量，故抛体要脱离太阳引力作用，其机械能至少是02123=-'ss R m m G V m （3） 213)2(ss R Gm V =' （4） 把式（4）代入式（2），有 E 213E 3)2(V R Gm V V V V ss -='=-'=' （5） 如设地球绕太阳的运动轨道近似为一圆，那么由于抛体与地球的运动方向相同亚都只受太阳引力的作用，故可以认为此时抛体至太阳的距离s R ，即是地球轨道圆的半径。

于是由牛顿第二定律有s E E sS E R V m R m m G 22=- 即得21)(ss E R m G V = 把上式代入（5）式，得2/1))(12(ss R m G V -=' 将m R kg m s s 11301050.1,1099.1⨯=⨯=，则s km V /3.12='，将其代入（1），可得 2/123)2(EE R m G V V +'= 其中，,1037.6,1099.1630m R kg m E E ⨯=⨯=，所以第三宇宙速度为s km V /4.163=自1957年世界上第一颗人造地球卫星上天以来，1961年前苏联宇航员加加林乘坐宇宙飞船环绕地球一周．人类首次进入了太空1969年7月美国阿波罗11号宇宙飞船首次实现载人登月．1976年美国海盗1号宇宙飞船成功登上火星，发回5万多张照片和大量探测数据。

1997年7月4日，美国“火星探路者”无人飞船又在火星上着陆，并以火星车在火星表面采集样品拍摄照片表明，在几十亿年以前火星上非常可能发生过特大洪水。

然而．火星上是否有过液态水，甚至有过生命，仍然是一个有待进一步考察研究的问题1983年美国先驱者10号宇宙飞船超过太阳引力的束缚成为了飞出太阳系的第一个人造天体，人类完全有信心指望载人火星飞行、建造适宜人类居住的太空城等愿望终能成为现实。

运用矢量运算求解平均速度如图一所示，雷达站探测飞机的方位，在某一时刻测的飞机离该站,40001m r =连线1r 与水平方向的夹角019.36=θ；经过0.8S 后，测得飞机离该站m r 42002=，连线2r 与水平方向的夹角0230=θ.求：飞机在这段时间内的平均速度。

解：取坐标系如图二所示，两次测的飞机的位矢分别为ji j r i r r 24003200sin cos 11111+=+=θθj i j r i r r 21003637sin cos 22222+=+=θθ根据平均速度的定义，在0.8S 内飞机的平均速度为j i t r r t r V 8.024*******.03200363712-+-=∆-=∆∆=j i 375545-=（m/s ）故平均速度的大小为./1062.6)375()546(222S m V ⨯=+=平均速度的方向与x 轴的夹角为05.34545375==-==x yx yV V arctg V V tg ϕϕ求解杆顶影子的速度地面上垂直竖立一根高20m 的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方，如图一，问：在下午2时整，杆顶在地面上影子的速度为多少？在什么时刻杆的影子将伸展至20m.解：地球自西向东自转相当于太阳自东向西绕地球转动，地球自转一周为S 606024⨯⨯，故太阳绕地球转动一周也是S 606024⨯⨯。