习题11-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cos sin )r =R ωt i ωt j +v v v其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：(1) 由(cos sin )r =R ωt i ωt j +v v v，知：cos x R t ω= ，sin y R t ω=消去t 可得轨道方程：222x y R +=∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R 的圆；（2）由d rv dt=v v ，有速度：sin Rcos v R t i t j ωωωω=-+v v v而v v =v v，有速率：1222[(sin )(cos )]v R t R t R ωωωωω=-+=。

1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为24(32)r t i t j =++v v v ，式中r 的单位为m ，t 的单位为s 。

求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。

解：（1）由24(32)r t i t j =++v v v ，可知24x t = ，32y t =+ 消去t 得轨道方程为：x =2(3)y -，∴质点的轨道为抛物线。

（2）由d r v dt=v v ，有速度：82v t i j =+v v v从0=t 到1=t 秒的位移为：1100(82)42r v d t t i j d t i j ∆==+=+⎰⎰v v v v v v（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度为：(0)2v j =v v，(1)82v i j =+v v v 。

1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为22r t i t j =+vv v ，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

解：(1)由d r v dt =v v ，有：22v t i j =+v v v ，d v a dt=v v ，有：2a i =v v ；（2）而v v =v v，有速率：12222[(2)2]21v t t =+=+∴t dv a dt=21t =+，利用222t n a a a =+有： 22221n t a a a t =-=+。

1-4．一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为1y ，升降机上升的高度为2y ，运动方程分别为21012y v t gt =-（1） 22012y v t at =+ （2）12y y d += （3）（注意到1y 为负值，有11y y =-） 联立求解，有：2dt g a=+。

解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为'g g a =+， 利用21'2d g t =，有：22'ddt g g a==+。

1-5．一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的d r d t v ，d v d t v ，d vd t。

解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：0x v t = ，212y h g t =- ，∴201()2r v t i h g t j =+-v v；（2）联立上面两式，消去t 得小球轨迹方程：2202gx y h v =-+（为抛物线方程）；（3）∵201()2r v t i h g t j =+-v v v，∴0d r v i g t j d t =-v v v ， 即：0v v i g t j =-v v v，d v g j d t=-v v 在落地瞬时，有：2ht g=，∴02d r v i gh j d t =-v v v 又∵ v =2222()xyv v v gt +=+-，∴2122220022[()]g gh g t dvdt v gh v gt ==++ 。

1-6．路灯距地面的高度为1h ，一身高为2h 的人在路灯下以匀速1v 沿直线行走。

试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度2v .证明：设人向路灯行走，t 时刻人影中头的坐标为1x ，足的坐标为2x ， 由相似三角形关系可得：12211x x h x h -=， ∴11212h x x h h =-两边对时间求导有：11212d x h d x d t h h d t =- ，考虑到：21d x v d t=， 知人影中头的速度：21112d x h v v d t h h ==-影（常数）。

1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为2242t t x -+=(m)，在 t 从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s 的时间间隔内，质点速度为0的位置：t dtdxv 44-==若0=v 解得 s t 1=， m x x x 22)242(011=--+=-=∆m x x x 8)242()32342(2133-=-+-⨯-⨯+=-=∆m x x x 1021=∆+∆=∆。

cm 20=h ，斜面对水1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度平的倾角ο30=θ，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。

x y 0v hO O1x 2x 1h 2h解：小球落地时速度为gh v 20=，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，00060cos v v x =→ 200060cos 2160cos t g t v x += （1）00060sin v v y =→ 200060sin 2160sin t g t v y -= （2）第二次落地时：0=y ，代入（2）式得：g v t 02=，所以：2002002122cos 60cos 604802v gh x v t g t h cm g g ⋅=+====。

1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为2s /cm 4.3，设赤道上重力加速度为2m/s 80.9。

解：由向心力公式：2F m Rω=向， 赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：F mg =向，而现在赤道上物体的向心力为：'F ma =向∴016.9817ωω====≈1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为0v ，并且0v 与水平面的夹角为θ。

试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。

解：（1）抛物线顶点处子弹的速度0cos x v v θ=，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g 。

因此有：22011(cos )v v g θρρ==，2201cos v gθρ=；（2）在落地点时子弹的0vθ角，则：cos n a g θ=，有：22cos v g θρ= 则：22cos v g ρθ=。

1-11．一飞行火箭的运动学方程为1()ln(1)=+--x ut u t bt b，其中b 是与燃料燃烧速率有关的量，u 为燃气相对火箭的喷射速度。

求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。

解：一维运动，直接利用公式：dx v dt =，dv a dt=有： （1）)1ln(bt u dt dx v --== ， （2）btubdt dv a -==11-12．飞机以s /m 1000=v 的速度沿水平直线飞行，在离地面高m 98=h 时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远? 解：设此时飞机距目标水平距离为x 有： 0yt v x 0=┄①，221gt h =┄② 联立方程解得：m x 447≈，∴05.77arctan≈=hxθ。

1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为s /m 0.490=v ，而气球以速度s /m 6.19=v 匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 解：物体在任意时刻的速度表达式为：gt v v y -=0故气球中的观察者测得物体的速度v v v y -=∆代入时间t 可以得到第二秒末物体速度：29.8m v s∆=，（向上）第三秒末物体速度：30v ∆=第四秒末物体速度：49.8m v s∆=-（向下）。

思考题11-1．质点作曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，平均速度为v ，平均速率为v ，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?（A ）v v ==v v ,；（B ）v v =≠v v ,；（C ）v v ≠=v v ,；（D ）v v ≠≠v v ,答：（C ）1-2．沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是：（A ）与速度大小成正比；（B ）与速度大小平方成正比；（C ）与速度大小成反比；（D ）与速度大小平方成反比。

答：B1-3．如图所示为A ，B 两个质点在同一直线上运动的-v t 图像，由图可知 （A ）两个质点一定从同一位置出发 （B ）两个质点都始终作匀加速运动 （C ）在2s t 末两个质点相遇（D ）在20s :t 时间内质点B 可能领先质点A答：D1-4．质点的t x ~关系如图，图中a ，b ，c 三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？ 答：匀速直线运动；a b c v v v >>。

1-5．如图所示，两船A 和B 相距R ，分别以速度A v 和B v 匀速直线行驶，它们中α和β为已知。

会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图答：方法一：如图，以A 船为参考系，在该参考系中船A 是静止的，而船B 的速度A v v v B -='。

v '是船B 相对于船A 的速度,从船B 作一条平行于v '方向的直线BC,它不与船A 相交,这表明两船不会相碰.由A 作BC 垂线AC,其长度min r 就是两船相靠最近的距离θsin min R r =作FD//AB,构成直角三角形DEF ，故有：v v v A B '-=αβθsin sin sin ，在三角形BEF 中,由余弦定理可得：)cos(222βα+++='B A B A v v v v vR v v v v v v r B A BAA B )cos(2sin sin 22min βααβ+++-=。

方法二：两船在任一时刻t 的位置矢量分别为： j i r A )tsin )cos (ααB A v t v (+=j i r B )tsin )cos (ββB B v t v R (+-=j i r r r A ])sin sin [(])cos cos ([-B t v v t v v R A B A B αβαβ-++-==任一时刻两船的距离为：22])sin sin [(])cos cos ([t v v t v v R r A B A B αβαβ-++-=令：0)(=dtt drR v v v v v v t A B A B A B 22)sin sin ()cos cos (cos cos αβαβαβ-+++= R v v v v v v r B A B A A B )cos(2sin sin 22min βααβ+++-=。