初等函数在定义域中连续一. 连续的定义二．常见的初等函数举例三．以上所举初等函数是否在定义域中连续并举例证明几个初等函数的连续性四．以上所举初等函数的复合函数（也是初等函数）是否有连续性并举例证明五．我们从中得到的定理一．连续的定义（一）设函数f 在某U （X0）内有定义，若0lim X X f(x)=f(x0)，则称f 在点X0连续 （二）即函数在定义域中每一点满足1． 左极限 和 右极限 存在2． 左极限等于右极限3． 左极限与右极限等于这一点的函数值二．常见的初等函数举例（一）概念初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric function)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。

英文：elementary function它是最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh 是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。

初等函数在其定义区间内连续。

（二）实例介绍1．常数函数对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。

2．指数函数形如y＝a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。

3．幂函数形如y＝x^a的函数，式中a为实常数。

4．对数函数，式中a为不等于1的正常数。

指数函数与对数函数之指数函数的反函数，记作log Xa=X。

间成立关系式，log aXa5．三角函数即正弦函数y＝sinx ，余弦函数y＝cosx ，正切函数y＝tanx，余切函数y＝cotx ，正割函数y＝secx，余割函数y＝cscx。

6．反三角函数三角函数的反函数——反正弦函数y ＝arc sinx ，反余弦函数y＝arc cosx （－1≤x≤1，初等函数0≤y≤π），反正切函数y=arc tanx ，反余切函数y ＝arc cotx（－∞ ＜x＜＋∞ ，θ＜y＜π）等。

以上这些函数常统称为基本初等函数。

双曲正弦或超正弦sinh x =(e^x- e^（-x)）/2双曲余弦或超余弦cosh x =(e^x + e^(－x))/2双曲正切tanh x =sinh x / cosh x双曲余切coth x = 1 / tanh x双曲正割sech x = 1 / cosh x双曲余割csch x = 1 / sinh x一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式，例如，三角函数y＝sinx 可以用无穷级数表为初等函数可以按照解析表达式分类为：初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。

为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等（三）基本初等函数的范围包括代数函数和超越函数。

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。

这是分析学中最常见的函数，在研究函数的一般理论中起着很重要的作用。

实变量初等函数定义域为实数域的初等函数。

有理函数实系数多项式称为整有理函数。

其中最初等函数简单的是线性函数y=α0+α1x，它的图形是过y轴上y=α0点的斜率为α1的直线。

二次整有理函数y=α0+α1x+α2x2的图形为抛物线。

两个整有理函数之比(1)称为分式有理函数。

其中最简单的是其图形为双曲线。

整有理函数和分式有理函数统称有理函数。

有理函数起源于代数学。

求有理函数的反函数则可产生代数函数。

如y=xn的反函数为三角函数和反三角函数这是起源于几何学的最简单的超越函数。

高等分析学中计量角度的方法是所谓弧度法,即以单位圆周上的弧段量度相应的圆心角。

三角函数是sinx、cosx以及由它们导出的和它们的定义如图1所示。

sinx和cosx在x=0处的泰勒展式为(2)(3)它们的收敛半径为。

sinx、cosx、tanx、cotx 、secx 、cosecx的反函数分别为arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx、arcsecx、arccosecx(或记为sin-1x、cos-1x、tan-1x、cot-1x、sec-1x、cosec-1x),初等函数图形并称为反三角函数。

指数函数和对数函数设α为一正数，则y=αz表示以α为底的指数函数（图2）。

其反函数y＝logαx称为以α为底的对数函数(图3)。

特别当α=e时称y=ez（或expx）和y=logαx=lnx（或logx）为指数函数和对数函数。

logx能由下面的积分式定义它表示由双曲线、下由t轴、左右分别由t=1和t=x两直线所围的面积。

由此可知当x在正实轴上变化时，y=logx取值在实轴上，且log1=0。

它是x的增函数,导数。

此外logx满足加法定理，即log(x1·x2)=logx1+logx2。

初等函数初等函数对数函数的反函数指数函数ex 是定义在实轴上取值于正实数的增函数，且e0＝1。

ex的导数与它本身相同。

此外ex满足乘法定理，即。

ex在x=0处的泰勒展式为。

(4)双曲函数和反双曲函数由指数函数经有理运算可导出双曲函初等函数数。

其性质与三角函数很相似，并以sinhx、coshx、tanhx、cothx、sechx、cosechx表示之，其定义如下：分别称为双曲正弦（图4）和双曲余弦（图5）。

像三角函数一样，由它们导出的双曲正切（图6）tanhx=sinhx/coshx，双曲余切（图7）cothx＝coshx/sinhx等都称为双曲函数。

它们有如下的几何解释，即双曲线x2-y2=1(x>0)上取一点M,又令O为原点,N ＝(1,0)，将ON,OM和双曲线上的弧所围面积记为θ/2，点M的坐标视为θ的函数,并记为coshθ和sinhθ，即有表示式(5)。

初等函数初等函数初等函数初等函数复变量初等函数定义域为复数域的初等函数。

有理函数、幂函数和根式函数两个复系数的多项式之比为有理函数,它实现扩充的复平面到自身的解析映射。

分式线性函数是一个特殊的有理函数，它在复分析中有重要的意义。

另一个特殊情形是幂函数w＝zn，n 是自然数,初等函数它在全平面是解析的,且。

因此当n≥2时，它在全平面除z=0以外到处实现共形映射（保角映射）。

它将圆周丨z丨= r变为圆周|w|=rn，将射线argz=θ变为射线argw＝nθ。

任何一个区域,只要该区域中任两点的辐角差小于2π/n,它就是w＝zn的单叶性区域。

幂函数w＝zn的反函数为根式函数,它有n 个值,(k=0，1,…,n-1),称为它的分支。

它们在任何区域θ1z <θ1＋2π 中都单值解析而且将这个区域变为区域。

它们的导数为。

指数函数和对数函数在指数函数式(4)中将x换为复变量z,便得到复变量的指数函数w＝ez,并且,显然有(k为整数)。

复指数函数有类似于实指数函数的性质：ez是一整函数且对任何复数z,ez≠0;它满足乘法定理:；ez以2kπi为周期，即；并且它的导数与本身相同，即。

函数w＝ez在全平面实现共形映射。

任何一个区域，只要对区域内任两点，其虚部之差小于2π，它就是ez的单叶性区域。

例如,指数函数把直线x=x0变为圆周,把直线y=y0变为射线argw＝y0，因而把区域Sk变为区域0w <2π，把宽度为β的带形区域α0< α0+β(β≤2π)变为开度为β的角形域α0w<α0+β。

对数函数w＝Lnz是指数函数ez的反函数，它有无穷多个值2kπ)（k 为整数），称为它的分支。

每一个分支在区域θ0z<θ0+ 2π中是解析的，且有。

对数函数把这个区域单叶地变为带形区域θ0w <θ0＋2π，也把开度为β的角形域θ0z<θ0＋β(β≤2π)变为宽度为β的带形区域θ0w <θ0+β。

特别(Lnz)0=Lnz是实对数函数lnz在复数域上的推广。

象实对数函数一样，它满足加法定理，即对任两个不为零的复数z1和z2，有。

初等函数一般幂函数对于复数α,幂函数zα定义为。

一般来说,它是多值函数。

特别当α=n 是正整数时,它就是幂函数w＝zn；当，n为正整数，它就是根式函数。

三角函数、反三角函数、双曲函数这些函数是作为相应的实变量函数的解析开拓而得。

例如将(2)和(3)式中变量x换为复变量z，则得到sinz和cosz，它们是整函数。

初等函数tan z=sinz/cosz, cotz=cosz/sinz 等是z的亚纯函数。

它们具有实三角函数的很多类似性质：周期性、微商性质、三角恒等式等。

但丨sinz丨≤1,丨cosz丨≤1不是对任何z都成立。

由于三角函数与指数函数密切联系,因此应用时很方便。

sin z的单叶性区域可取，，或。

它将Gk单叶并共形地映为全平面上除去实轴上线段【-1，1】和负虚轴后得到的区域；它将Rk 单叶地并共形地映为全平面除去实轴上两条射线(-,-1】和【1,)后得到的区域。

类似地可以指出cosz的单叶性区域。

w＝Arcsinz,w＝Arccosz,w＝Arctanz分别是sinz,cosz和tanz的反函数，并称为反三角函数。

它们能由对数函数合成，即可表为，，等，它们都是多值函数。

在适当的区域中确定了单值解析分支后，就有,,等。

像实双曲函数一样，由指数函数能合成双曲函数，,等为双曲函数。

由定义它们与三角函数有下面的关系：。

并因此有。

此外。

w ＝Arcsinhz,w ＝Arccoshz 分别是sinhz 和coshz 的反函数,并称为反双曲函数。

它们能由对数函数合成,即可表为，。

一般初等函数的导数还是初等函数，但初等函数的不定积分不一定是初等函数。

另外初等函数的反函数不一定是初等函数。

三．以上所举初等函数是否在定义域中连续并证明几个初等函数的连续性1．常数函数显然，在其定义域中，常数函数是连续的。

在其定义域上每一点都满足连续函数的性质。

左极限与右极限相等且等于函数值。

2． 指数函数举例：x a 的连续性证明。

（a>1）证明：由0lim x x a →=1= 0a ， 这表明x a 在x=0连续。

现任取0x R ∈。

可以知道：0000()x x x x x x x a a a a +--==•令t= 0x x -， 则当0x x →时有0t →，从而有0000000lim lim lim x x x x x x t x x x x t a a a a a a -→→→=== 这就证明了xa 在任一点0x 连续。