第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
例例33
求..
解第令九节ax –连1续= 函t，数则的x运=算lo与ga初(1等+ 函t) ,数当的连x续0性时，
3
lliimm t例例0 ，44于求求是axxx00
((11 1
lim lliimm lim 例例22x求求 0
1
x0 x0
xxlloo2ggaa1((xx11
x) x)
. .
x0
1 x2 1 1 x2 1 x 1 x2 1
解
x
0 0.
limx0 lim lim x0
lo1ga (x12x1) x
2
x0
1
log a (1 x) x
log a e 1 .
三、初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一切初等函数在定义区间内连续.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
例例11
求 求
lliixmm0
x0
1 x2 1 xx2
1 1
. .
x
解
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的四则运算 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的四则运算
连续。 ( 利用极限的四则运算法则证明)
例如,
都在(- , + ) 连续，
在其定义域内连续.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
x0 连续，且 g(x0) = u0 ，而函数 y = f (u) 在 u = u0 连续, 则复合函数 y = f [g(x)] 在 x = x0 连续.
证明略.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
例如,
是由连续函数链
复合而成 , 因此
x R* 在 x R * 上连续 .
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
22xx))ssiin3nxx
..
lliimmlim lim 例例 解第55x求x求九00节(xx1x连00 2续xaa)函xsxi3nx数bb33xx的x运 cc0xx算(11x1x与((aa2初x)等0021,,x函bbs6inx数x 00的,,cc 连 00续)) ..性
lilmim elim. 由此解可 得xa0x(1a1x2~xlx)bn321xlxan.asc6in.xxx
例如, y sin x 在
上单调增加且连续，其反函数
y arcsin x 在[-1, 1]上也单调增加且连续.
y
π 2
-1
y sin x
O 1π
x
2
y arcsin x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
又如, y = ex 在(- , + )上单调递增且连续，其反函
数 y = ln x 在(0 , + )上也单调递增且连续.
二、反函数与复合函数的连续性
1. 反函数的连续性 定理2 如果函数 y = f (x) 在区间 Ix 上单调增加(或单
调减少)且连续，那么它的反函数 x = f -1(y) 也在对应的 区间 Iy = { y | y = f (x) , x Ix } 上单调增加(或单调减少) 且连续.
证明略.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
lim f [g (x)] lim f (u) f (u0 ) ,
x x0
uu0
或
lim f [g (x)] f [lim g (x)] .
x x0
x x0
证明略.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
定理4 设函数 y = f [g(x)] 由函数 u = g(x) 与函数
y = f (u) 复合而成，U ( x0 ) D f g . 若函数 u = g(x) 在 x =
1 x
6
x0
1
a
x
b
x 3
c
x
1
3 x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
作业： P66 习题1-9 3.(1)(3)(5) 4.(1)(2)(5)
y
y = ex
1
O1
x
y = ln x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
2. 复合函数的连续性
定理3 设函数 y = f [g(x)] 由函数 u = g(x) 与函数
y = f (u) 复合而成，U ( x0 ) D f g . 若 lim g ( x) u0 , 而 x x0
函数 y = f (u) 在 u = u0 连续， 则