绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则AB =A ．(1,3)-B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(2,3) 2．若a 为实数，且231ai i i+=++，则a =A ．-4B ．-3C ．3D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b a A ．-1 B ．0 C ．1 D ．35．设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。

若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 =A ．5B ．7C ．9D ．116．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A ．18B ．17C ．16D ．157．已知三点(1,0)A，B，C ，则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为A ．53 BCD ．432004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =A ．0B ．2C ．4D ．149．已知等比数列{}n a 满足114a =，a 3a 5 = 44(1)a -，则a 2 =A ．2B ．1C ．12D ．1810．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB = 90°，C 为该球面上的动点。

若三棱锥O —ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π11．如图，长方形ABCD 的边AB = 2，BC = 1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠AOB = x 。

将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为 12．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞C ．11(,)33- D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数3()2f x ax x =-的图象过点(1,4)-，则a = _________。

14．若x ，y满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为__________。

15．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为__________。

16．已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a = __________。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC 。

（1）求sin sin B C∠∠；（2）若60BAC ∠=，求B ∠。

18．（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表。

A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表（1）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：0.00.00.00.00.00.00.00.0频率50 60 7080 90 100 满意度评40 50 60 70 8090 满意度评100 0.00.00.00.0频率0.00.00.00.0估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由19．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E= D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。

20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点在C 上。

（1）求C 的方程；（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。

证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。

21．（本小题满分12分）已知函数()ln (1)f x x a x =+-。

（1）讨论()f x 的单调性；D D 1 C 1A 1 EF ABCB 1（2）当()f x 有最大值，且最大值大于2a - 2时，求a 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号 22．（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ΔABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。

（1）证明：EF ∥BC ；（2）若AG 等于⊙O的半径，且AE MN ==EBCF 的面积。

23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：G A EFON DB C M（1）若ab > cd（2是||||a b c d-<-的充要条件。

参考答案一．选择题（1）A （2）D （3）D （4）C （5）A （6）D（7）B （8）B （9）C （10）C （11）B （12）A 二．填空题（13）-2 （14）8 （15）2214x y -=（16）8三．解答题 （17）解： （Ⅰ）由正弦定理得因为AD 平分,2BAC BD DC ∠=，所以（Ⅱ）因为180(),60C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=，所以由（Ⅰ）知2sin sin B C ∠=∠，所以tan 3B ∠=，即30B ∠= （18）解： （Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散。

（Ⅱ）A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。

记A C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”； 记B C 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”。

由直方图得()A P C 的估计值为(0.010.020.03)100.6++⨯=()B P C 的估计值为(0.0050.02)100.25+⨯=所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。

（19）解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则1114,12,8AM A E EB EM AA =====因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===于是6,10,6MH AH HB ====因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97（79也正确） （20）解：22421a b=+=， 解得228,4a b ==所以C 的方程为22184x y +=（Ⅱ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,)M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠将y kx b =+代入22184x y +=得故12222,22121M M M x x kb b x y kx b k k +-===+=++于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k =- 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。

（21）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为1(0,),()f x a x'+∞=-若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增 若0a >，则当1(0,)x a ∈时，()0f x '>；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '<。

所以()f x 在1(0,)a 单调递增，在1(,)a +∞单调递减。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞无最大值；当0a >时，()f x 在1x a =取得最大值，最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+- 因此1()22f a a >-等价于ln 10a a +-< 令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞单调递增，(1)0g = 于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a > 因此，a 的取值范围是(0,1)（22）解：（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线又因为O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE AF =，故AD EF ⊥从而//EF BC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为O 的弦，所以O 在AD 上连结,OE OM ，则OE AE ⊥由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=，因此ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形因为AE =，所以4,2AO OE ==因为12,2OM OE DM MN ====，所以1OD =，于是5,AD AB == 所以四边形EBCF的面积为221122⨯-⨯= （23）解：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220,0x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或23.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα所以|||2sin |4|sin()|3AB πααα=-=- 当56πα=时，||AB 取得最大值，最大值为4 （24）解：（Ⅰ）因为22a b c d =++=++，由题设,a b c d ab cd +=+>得22>>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即因为a b c d +=+，所以ab cd >>>22>，即因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是 因此||||a b c d -<->||||a b c d -<-的充要条件。