第八章 非线性控制系统分析练习题及答案8-2 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x+-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。

解 令 x=0 得 -+=-=-+=x x x x x x x 321110()()()系统平衡状态x e =-+011,,其中：0=e x ：稳定的平衡状态；1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。

计算列表，画出相轨迹如图解8-1所示。

可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(-<x 时，x t ()→-∞; 1)0(>x 时，x t ()→∞。

注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 ~xx 平面上任意分布。

8-3 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

(1) x xx ++=0 (5) ⎩⎨⎧+=+=2122112x x xx x x解 （1） 系统方程为x -2 -1 -13 0 131 2x-6 0 0.385 0 -0.385 0 6 x 11 2 01 0211图解8-1 系统相轨迹⎩⎨⎧<=-+I I >=++I )0(0:)0(0:x x x x x x x x令0x x ==，得平衡点：0e x =。

系统特征方程及特征根：21,221,21:10,()2:10, 1.618,0.618()s s s s s s I II ⎧++==-±⎪⎨⎪+-==-+⎩稳定的焦点鞍点(, ) , , x f x x x x dxdxxx x dx dx x x x x x==--=--==--=-+=ααβ111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>--=)0(11:II )0(11:I x x βαβα计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（a ）所示。

图解8-2（a ）系统相平面图（5） xx x 112=+ ① 2122x x x+= ② 由式①： x xx 211=- ③ 式③代入②： ( )( )x xx x x 111112-=+- 即 x x x 11120--= ④ 令 x x110== 得平衡点： x e =0 由式④得特征方程及特征根为 ⎩⎨⎧-==--414.0414.20122,12λs s （鞍点） 画相轨迹，由④式x xdxdx x x x 1111112===+α xx 112=-α 计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（b ）所示。

8-4 若非线性系统的微分方程为(1) ( .) x x x x x +-++=30502 (2) x xxx ++=0 试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。

解（1） 由原方程得(, )( .) . x f x xx x x x x x x x ==----=-+--305305222 令 x x110== 得 x x x x +=+=210() 解出奇点 x e =-01,在奇点处线性化处理。

在x e =0处：(, )(, ) ()( .) . x f x x xx f x xxxx x xx x x x xx xx x x x =⋅+⋅=--⋅+-+⋅=-+========∂∂∂∂0000001260505即. x x x -+=050 特征方程及特征根s j 1220505420250984,....=±-=± （不稳定的焦点）在x e =-1处 x x xxx x xxx xx 5.0)5.06()21(0101+=⋅+-+⋅--==-==-= 即. x x x --=050 特征根 ⎩⎨⎧-=+±=718.0218.1245.05.022,1s （鞍点） 概略画出奇点附近的相轨迹如图解8-4（1）所示：（2） 由原方程(, ) x f x xxx x ==-- 令x x ==0 得奇点 x e =0,在奇点处线性化( ) xf xx fxxx x x x x xx xx x x x =⋅+⋅=--⋅-⋅========∂∂∂∂00001得 x x =- 即x x +=0 特征根 s j 12,=±。

奇点x e =0（中心点）处的相轨迹如图解8-4(2)所示。

8-5 非线性系统的结构图如图8-36所示。

系统开始是静止的，输入信号)(14)(t t r ⨯=，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。

解 由结构图，线性部分传递函数为C s M s s()()=12 得 ()()ct m t = ① 由非线性环节有⎪⎩⎪⎨⎧III -<+II>-I ≤=22)(22)(20)(e t e e t e e t m ②由综合点得c t r t e t e t ()()()()=-=-4 ③ 将③、②代入①得⎪⎩⎪⎨⎧-<-->-≤=III2)(2II 2)(2I 20)(e t e e t e e t e开关线方程为 e t ()=±202:)(0)(:=-+I I ==I e ec e t e常数令 e e ==0 得奇点 e 02II =特征方程及特征根 s s j 21210+==±,, （中心点）III ： e e ++=20令 e e ==0 得奇点 e 02III=-特征方程及特征根 s s j 21210+==±,, （中心点）绘出系统相轨迹如图解8-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。

8-10 已知具有理想继电器的非线性系统如图8-38所示。

图8-38 具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析：（1）T d =0时系统的运动；（2）T d =05.时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用； （3）T d =2时系统的运动特点。

解 依结构图，线性部分微分方程为c u = ①非线性部分方程为 ⎩⎨⎧II <+-I >+=0101eT e eT e u d d ②开关线方程： eT e d=-1 由综合口： c r e e =-=-1 ③ ③、②代入①并整理得⎩⎨⎧II<++I>+-=0101d d eT e eT e e 在 I 区： ee dede ==-1 解出： ()e e e 220=-> （抛物线） 同理在 II 区可得：()ee e 220=< （抛物线）开关线方程分别为T d =0时， e =0;T d =05.时， ee =-2; T d =2 时， .ee =-05. 概略作出相平面图如图解8-7所示。

图习题集P178 T8-10由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。

8-12 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为(1) G s s s ()(.)=+1011(2) G s s s ()()=+21(3) G s s s s s ()(.)()(.)=+++21511011试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？解 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。

分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解8-10所示。

由对数幅频特性曲线可见，L 2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。

8-14 将图8-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。

图8-40 非线性系统结构图解 (a) 将系统结构图等效变换为图解8-11（a ）的形式。

G s G s H s ()()[()]=+111(b) 将系统结构图等效变换为图解8-11(b)的形式。

G s H s G s G s ()()()()=+11118-17 已知非线性系统的结构图如图8－42所示图8-42 8-13题图图中非线性环节的描述函数为N A A A A ()()=++>62试用描述函数法确定：（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围； （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。

解 （1）-=-++126N A A A ()()-=--∞=-101311N N (),()dN A dA A ()()=-+<4202N(A)单调降，)(1A N -也为单调降函数。

画出负倒描述函数曲线)(1A N -和G j ()ω曲线如图解8-13所示，可看出，当K 从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。

求使 Im [G j ()]ω=0 的ω值：令 ∠=-︒-=-︒G j arctg ()ωω902180 得 arctg ωω=︒=451,令 G j K()ωωωωω===+12211⎪⎩⎪⎨⎧=→=→==213231231K K K 可得出K 值与系统特性之间的关系：（2）由图解8-13可见，当)(1A N -和G j ()ω相交时，系统一定会自振。

由自振条件N A G j A A K A KA ()()()()ωω==++⋅-=-++=-16226221 ()A K A +=+624解出 )232(1246<<⎪⎩⎪⎨⎧=--=K KK A ω 8-18 非线性系统如图8-44所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输出信号振荡的振幅和频率。

解 将系统结构图等效变换为图解8-15。

G j j j j ()()()ωωωωωω=+=-+-+10110110122222.042.014)(A j A A A N ππ⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A jA A 2.02.0142π11 211()40.20.21A N A j A A π--=⎛⎫-- ⎪⎝⎭20.20.214A j A A ππ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 令G j ()ω与)(1A N -的实部、虚部分别相等得222.014110⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+A A πω 10102401572ωωπ()..+== 两式联立求解得 ω==3910806.,.A 。

由图8-44，0)(=t r 时，有)(51)()(t x t e t c =-=，所以)(t c 的振幅为161.05806.0=。