2017年下学期醴陵一中高二年级期中考试数学试卷（理科）时量：120分钟总分150分命题人：班级： ___________ 姓名 ________________ 考号： _____________________、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且 只有一项符合题目要求•1、已知函数 y = f x 是T 上的偶函数，且在 | U. - / I 上单调递增，则下列各式成立的是（） A. f -2 ■ f 0 ■ f 1 B. f 1■ f 0 ■ f -2 C. f -2. f 1. f 0 D. f 1■ f -2. f 02、若 f (x ) = x ・e x ，则 f ' (1)等于()2A. 0 B . e C . 2e D . e2x • y T = 0平行，则下列命题为真的有（ ）A. p qB. p qC. _p qD. _p q5、 命题“ ？ n € N*, f ( n ) € N*且f (n ) < n ”的否定形式是( )A. ?n € N*,f ( n ) ?N*且 f ( n ) > nB. ?n € N*,f ( n ) ?N*或 f ( n ) > nC. ? n € N ,f (n o )?N 且 f (n o ) > n oD. ?rb € N ,f (n °)?N 或 f (n °) > n °6、 已知a = (2,1 , - 3) , b = ( — 1,2,3) , c = (7,6 ,入)，若a , b , c 三向量共面，则 入等于 ( )A. 9 B . — 9 C . — 3 D . 37、 如图，已知椭圆 C 的中心为原点 Q F ( — 2 5, 0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足| Op3、 抛物线 2y =4X 的准线方程为（A.B . x =1 C1 16若命题p ：-a ・R ,方程ax 1 =0 有解；命题q ： -I m ::: 0使直线x - my = 0与直线= |OF，且| PF = 4，则椭圆C的方程为()2 2x y B.36 +16= 11A . eB . — e C. e D两年生产总值的年平均增长率为 (10、如图所示，在正方体 ABC B ABCD 中，棱长为a , M N 分别为AB 和AC 上的点, 2a亏，则MNW 平面BBCC 的位置关系是()222211、 设 a 1, a 2,…，a n € R, n 》3.若p ： a,a 2,…，a n 成等比数列；q ：(a 1+ a 2+・・・+a n —1)(a 2+ a 3 + …+= (a 1a 2+ a 2a 3+・・・+ a n —心)2,则()A. p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件B. p 是q 的充分条件，但不是 q 的必要条件C. p 是q 的充分必要条件D. p 既不是q 的充分条件，也不是 q 的必要条件2 2X y12、 已知A, B 分别为椭圆a 2+ b 2 = 1(a >b >0)的右顶点和上顶点，直线 y = kx (k >0)与椭圆交于C, D 两点，若四边形 ACBD 勺面积的最大值为 2c 2,则椭圆的离心率为()1 1 二亠？A. 3B. 2C. 3D. 2二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分. log 2x (x > 0),13、 已知函数f (x ) = C|2x (x 三0), 且关于x 的方程f (x ) — a = 0有两个实根，则实数 a的取值范围是 __________2 2X I D.45+ 25= 18、已知曲线y = In x 的切线过原点, 则此切线的斜率为 9、某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q,则该市这p + qA. ~Y~B.(p + 1)( q + 1) - 1C. V pqD.(p + 1)( q + 1) - 1A i M= ANA.斜交 B .平行C .垂直C. 30+ 10= 12 214、以点P(2,_1)为中点且被椭圆Z+L=1所截得的弦所在的直线方程是__________________8 415、已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB= (2 , - 1 , - 4) , AD= (4,2,0) , AP= ( —1,2 , - 1).对于结论：① AP丄AB②APL AD③AP是平面ABCD的法向量；④AP// BD其中正确的是__________ .4 1616、设集合A= {( x, y)|( x- 3)2+ (y-4)2=号} , B= {( x, y)|( x-3)2+ (y-4)2=石}, C= {( x, y)|2| x - 3| + |y - 4| =入}.若(A U B) n C^ *，则实数入的取值范围是__________ .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.3 317、已知集合A=｛y|y= x2- J x + 1, x € [才，2]｝, B= ｛x|x+ 1｝，若“ x € A” 是“ x€ B”的充分条件，求实数m的取值范围.1 1 218、已知｛a n｝是等比数列，前n项和为$(n€ N*)，且农一乙=晶3= 63.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵若对任意的n€ N*, b n是log 2a n和Iog2a n+1的等差中项，求数列｛( - 1)n bj的前2n项和.19、如图，四棱柱ABC-ABCD 中，侧棱AA丄底面ABCD AB/ DC ABL AD AD= CD= 1,AA= AB= 2, E为棱AA的中点.(1)证明：BC丄CE⑵求二面角B - CE- C的正弦值;左，右顶点分别是C的左，右焦点.(1)求双曲线C2的方程；⑵若直线I : y = kx+ 2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且OA- 5^2(其中O为原点)，求k20、已知椭圆C的方程为7 + y2= 1, 双曲线C2的左，右焦点分别是C的左，右顶点，而C2的的取值范围.21、如图，四棱锥 PABCDL PA!底面 ABCD AD// BC , AB= AD= AC= 3, PA= BC= 4, M 为线 段AD 上一点，AM= 2MD N 为PC 的中点.⑴证明MN/平面PAB(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.22、已知抛物线 C: y 2 = 2px (p >0)的焦点为F , A 为C 上异于原点的任意一点，过点 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点 D,且有| FA = | FD .当点A 的横坐标为3 正三角形. (1)求C 的方程；⑵若直线I 1 // l ，且l 1和C 有且只有一个公共点 E,① 证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标.② 、ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.2017年下学期醴陵一中高二年级期中考试数学试卷(理科)时量：120分钟总分150分命题人：班级： __________ 姓名 ___________________ 考号： ___________________一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且 只有一项符合题目要求•1、 已知函数y 二f x 是R 上的偶函数，且在〔0, 上单调递增，则下列各式成立的是()A. f -2 f 0 f 1B. f 1 f 0 f -2C.f -2f 1f 0D.f 1f -2f 0【答案】A2、 若f (x ) = x ・e x ，则f '⑴等于( )2A. 0 B . e C . 2e D . e 答案 CA 的直线l时，△ ADFp3、抛物线y=4x2的准线方程为( )1 1A. X = -1 B . X=1C. y D . y =—16 16【答案】C4、若命题p 一a • R，方程ax 0有解；命题q ： m ：：：0使直线x m^ 0与直线2x y ^0平行，则下列命题为真的有()A. p qB. p qC. —p qD. _p q【答案】C5、命题“ ？n€ N*, f( n) € N*且f(n) < n”的否定形式是()A. ? n€ N*, f ( n) ?N*且f ( n) > n* *B. ? n€ N, f ( n) ?N 或f(n) > nC. ? rb € N, f(n°)?N且f(n°) >n°D. ? n0 € N, f(n°)?N或f(n°) >n°【答案】D6、已知a= (2,1 , - 3) , b= ( —1,2,3) , c= (7,6 ,入)，若a, b, c三向量共面，则入等于A. 9 B 9 C 3 D. 3 答案 B7、如图，已知椭圆 C 的中心为原点 Q F （ — 2 5, 0）为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足| QP = |QF ，且I PF = 4，则椭圆C 的方程为（）1 1A. e B . — e C. e D . — e 答案 C两年生产总值的年平均增长率为（p + qA. 2 C. pq答案 D 10、如图所示，在正方体 ABC — ABCD 中，棱长为a , M N 分别为AB 和AC 上的点，AM=AN2a=丁，则MNW 平面BBCC 的位置关系是（）A.斜交B .平行C.垂直D. MN 在平面BBCC 内答案 B11、设 a 1, a ?,…,a n € R, n >3.若p ：a, a ?,…,a n 成等比数列；q ： (a 2 + a 2+・・・+ ait 1)(a 2+ a 3 + …+ a ?) = (a 1a 2+ a 2a 3+・・・+ a n —心)2,则()A. p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件A.25+ 5 = 1B.36 + 16= 12xC・30+ 10= 1D.45 + 25= 1答案 B 8、已知曲线y = In x 的切线过原点， 则此切线的斜率为9、某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为p ,第二年的增长率为 q,则该市这)p+1 q+1 — 1B. 2D.p+1 q+1 — 1B iB. p 是q 的充分条件，但不是 q 的必要条件C. p 是q 的充分必要条件D. p 既不是q 的充分条件，也不是 q 的必要条件答案 B2 2x y12、已知A, B 分别为椭圆a 2+ b 2 = 1(a >b >0)的右顶点和上顶点，直线答案 D的取值范围是 答案(0,1]214、以点P 2, -1为中点且被椭圆 乂 -8答案y = x -315、 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 A B= (2 , — 1 , — 4) , AD= (4,2,0) , AP = ( — 1,2 , — 1).对于结论：① APL AB ② APL AD ③ AP 是平面 ABCD 的法向 量；④AP// BD 其中正确的是 _________ . 答案①②③41616、 设集合 A = {( x , y )|( x — 3)2 + (y — 4)2 = 5} , B = {( x , y )|( x — 3)2+ (y — 4)2= R , C = {( x ,y )|2| x — 3| + |y — 4| =入}.若(A U B ) n C M ©,则实数 入的取值范围是 _________________________ .答案[丁, 4]三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.3317、 已知集合 A = {y |y = x 2— 2x + 1, x €[才，2]} , B = {x |x +1}，若“ x € A ” 是“ x €B 的充分条件，求实数 m 的取值范围.3解 y = x 2 — 2X + 13 2 7y = kx (k >0)与椭圆交于C, D 两点，若四边形 ACBD 勺面积的最大值为 2c 2，则椭圆的离心率为A.B.1 2 C.D.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分, 共20分.2X x>(),13、已知函数 f (x ) = 2x,且关于X 的方程 f (x ) — a = 0有两个实根，则实数 a2y1所截得的弦所在的直线方程是 4=(x—42+ 16,3 7T x€[4，2] ,••• 16 W y W2.7二A=｛y i 16W y W 2｝-由x + rh > 1,得x > 1 - m,• B= ｛x| x > 1 - h｝.x € A”是“ x€ B'的充分条件，7•• A? B,・°• 1 —m W 16,3 3解得m> 4或h W —4,3 3故实数m的取值范围是(—g,—4] U[4, +m).1 丄_218、已知｛a n｝是等比数列，前n项和为$(n€ N)，且£ —丛=£, $= 63.(1) 求数列｛a n｝的通项公式；⑵若对任意的n€ N*, b n是log 2a n和Iog2a n+1的等差中项，求数列｛( —1)^｝的前2n项和. 解(1)设数列｛a n｝的公比为q.1 1 2由已知，有a1— aq= aq2,解得q = 2或q=— 1.1 —q6又由85= a1 • 1 —q = 63,知q z—1,1 —26所以a1 •匸2 = 63,得a1 = 1.所以a n= 2n—1.1(2) 由题意，得b n= 2(log 2a n + log z a n+1)1 1=2(log 22 + log 22 ) = n—2,1即｛b n｝是首项为2,公差为1的等差数列.设数列｛( —1) n bj的前n项和为T n,贝UT2n= ( —b1 + b2) + ( —b3+ b4) +…+ ( —b2n—1 + b2n)=b1 + b2+ b3+ b4+ …+ b2n—1 + b2n.21 =7 ,2n b i + b 2n2= 2n 2.19、如图，四棱柱 ABCD-ABCD 中，侧棱 AA 丄底面 ABCD AB/ DC ABL AD AD= CD= 1,AA = AB= 2, E 为棱AA 的中点.(1)证明：BC 丄CE⑵ 求二面角B -CE-C 的正弦值；(1)证明 如图，以点 A 为原点，分别以 AD AA , AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间 直角坐标系，依题意得 A (0,0,0) , B (0,0,2) , C (1,0,1), B(0,2,2), C (1,2,1),日0,1,0)易得 BC = (1,0 , - 1) , CE= ( — 1,1，- 1)，于是 BC • CE= 0,所以 BC 丄CE⑵解 E?C = (1 , — 2,— 1). 设平面BCE 的法向量m = (x , y , z ),消去x ，得y + 2z = 0,不妨令z = 1,可得一个法向量为 m= ( — 3,— 2,1). 由(1)知，BC 丄CE 又CC 丄BC , CC Q CE= C 可得BC 丄平面CEC 故BC = (1,0 , — 1)为平面CEC 的一个法向量.所以二面角 B — CE- C 的正弦值为 7[nr BC = 0, 则 m- C E= 0,x — 2y — z = 0,即-x + y — z = 0.于是 cos 〈 m B 1C 〉叶B1G | m i BC |_— 4_ =,14X ... 2 =2 ,77 ,从而sin〈m BC 〉D£J2x20、已知椭圆G 的方程为4 + y 2= 1,双曲线C 2的左，右焦点分别是 G 的左，右顶点，而 C 2的 左，右顶点分别是 C 的左，右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；⑵ 若直线I : y = kx + 2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ,且OA ・3E >2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.2 2x y 解(1)设双曲线C 2的方程为a 2 — b ^=1(a >0, b >0),则 a 2= 4 — 1= 3, c 2= 4, 再由 a 2 + b 2= c 2，得 b 2 = 1.2x故C 2的方程为3 — y 2= 1.2x_⑵将y = kx + 2代入孑—y 2 = 1,得(1 — 3k 2) x 2— 6 2kx — 9= 0. 由直线I 与双曲线Q 交于不同的两点，得 ”1— 3宀 0,、△ = — 6p2k 2+36 丨一3k 2 =36 丨一k 2 >0, 1••• k 2丰 3且 k 2<1.① 设 A (X 1, y 1), B (X 2, y 2),6個 —9则 X 1 + X 2= 1 — 3k 2, X 1X 2= 1 — 3k 2.又T OA OE>2，得 X 1X 2+ y 1y 2>2,223k + 7 — 3k + 9二 3k 2— 1>2,即 3k 2 — 1 >0,1解得3<k 2<3,②1 由①②得3<k 2<1.也_3故k 的取值范围为(一1,— 3) u ( §, 1).21、如图，四棱锥 PABCDL PA!底面 ABCDAD// BC , AB= AD= AC = 3, PA= BC = 4, M 为线 段AD 上一点，AM= 2MD N 为PC 的中点.• X 1X 2+ y 1y 2= X 1X 2+ (kX 1 + 2)( kx 2+ 2) = (k 2+ 1)X 1X 2 +2k (.23k + 7X 1+ X 2) + 2= 3k 2—⑴证明MN/平面PAB(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.(1)证明2由已知得AM= 3AD=1取BP的中点T,连接AT, TN由N为PC中点知TN// BC TN= 2BC= 2.又AD// BC,故TN平行且等于AM四边形AMN为平行四边形，于是MN/ AT因为AT?平面PAB MN平面PAB所以MN/平面PAB⑵解取BC的中点E,连接AE由AB= AC得AE± BC以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.T|n • AN 8、5A" |= |n|| A N| = 25pD从而AEL AD AE= AB—BE=P(0,0,4) , M0,2,0) , q&, 2,0) , N 1, 2 , PM= (0,2 , —4) , PN=n •PM=0,可取n= (0,2,1)于是|cos 〈n,由题意知,设n= (x , y , z)为平面PMN勺法向量，则设AN与平面PMb所成的角为B,则sin 0 = 25 ,8国•••直线AN与平面PMN所成角的正弦值为25 .22、已知抛物线C： y2= 2px(p>0)的焦点为F, A为C上异于原点的任意一点，过点交C于另一点B交x轴的正半轴于点D,且有| FA = | FD|.当点A的横坐标为3 正三角形.(1)求C的方程；⑵若直线I 1 // l，且l 1和C有且只有一个公共点E,①证明直线AE过定点，并求出定点坐标.②厶ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.P(1)解由题意知F(2，0).p+ 2t设D(t, 0)( t >0)，则FD的中点为, 0).因为| FA = | FD| ,p p由抛物线的定义知3+2 = t —2 ,解得t = 3 + p或t =—3(舍去).p+ 2t由4=3,解得p= 2.所以抛物线C的方程为y2= 4x.⑵①证明由(1)知F(1,0).设A(x o, y o)( X o y o M 0), D XD,O)(XD>0).因为| FA = | FD|，则| XD— 1| = x o+ 1,由XD>0,得X D= X o+ 2,故D(x o+ 2,0),yp故直线AB的斜率k AB=— 2.因为直线丨1和直线AB平行，y设直线11的方程为y = —2X + b,8 8b代入抛物线方程得y2+ y^y —羸=0,64 32b 2由题意△ = y2+ y0= 0，得b=—y0.■44A的直线l 时，△ ADF设E(XE, y E)，则y E=—y0, XE=y0.4y E—y o —y o —yo4y o 当y o M4 时，k A E= XE— x o=~4 y = y o—4，~2 ~y o—44y o 可得直线AE的方程为y —y o = y— (x—x o).24y。