大学物理第2章质点动力学习题解答-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第2章 质点动力学习题解答2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= (单位:米,秒), 求证质点受恒力而运动,并求力的方向大小。
解:∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j i a m F ˆ12ˆ24+== 为一与时间无关的恒矢量,∴质点受恒力而运动。
F=(242+122)1/2=125N ,力与x 轴之间夹角为:'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动,质点的运动学方程为:j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ,a,b,ω为正常数,证明作用于质点的合力总指向原点。
证明:∵r j t b it a dt r d a 2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。
2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2,物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ,求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力,不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦,绳不可伸长。
解:以地为参考系,隔离m 1,m 2,受力及运动情况如图示,其中:f 1=μN 1=μm 1g ,f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律:②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ①+②可求得:g m m gm F a μμ-+-=2112将a 代入①中,可求得:2111)2(m m g m F m T +-=μf 1N 1m 1TaFN 2 m 2TaN 1 f 1 f 22-20天平左端挂一定滑轮,一轻绳跨过定滑轮,绳的两端分别系上质量为m 1,m 2的物体(m 1≠m 2),天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干,天平才能保持平衡?不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦,绳不伸长。
解:隔离m 1,m 2及定滑轮,受力及运动情况如图示,应用牛顿第二定律:'2''2211T T a m T g m a m g m T ==-=-②① 由①②可求得:212121214,2'm m gm m T m m g m m T +=+=所以,天平右端的总重量应该等于T ,天平才能保持平衡。
2-21 一个机械装置如图所示,人的质量为m 1=60kg ,人所站的底板的质量为m 2=30kg 。
设绳子和滑轮的质量以及滑轮轴承的摩擦力都可略去不计,若想使所站着的底板在空中静止不动,此人应以多大的力量拉绳子此时人对升降机的压力是多大解:装置的各部分和人的受力如图所示,据题意有:112233231213231200T T T T T T N N T T T T T T N m g T N m g ⎧'''===⎪⎪''===⎨'''+--=⎪⎪'+-=⎩ 解方程组得:312121()41(3)4T m m g N m m g⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩m m 2T'm 1aT'm 2aTT' T'代入数据得:3220.5367.5T NN N =⎧⎨=⎩,即人应以220。
5N 的力量拉绳子?此时人对升降机的压力是367.5N 。
2-22 桌面上有一质量m 1=1kg 的木板,板上放一个质量为m 2=2kg 的物体。
已知物体和板之间的滑动摩擦系数μ2=0.4,静摩擦系数为μ0=0.5,板和桌面间的滑动摩擦系数μ1=0.3。
(1)今以水平力拉板,物体和板一起以加速度a=1m/s 2运动,计算物体和板以及板和桌面间的相互作用力;(2)若使板从物体下抽出,至少需用多大的力?解:以地为参考系,隔离m 1、m 2,其受力与运动情况如图所示,(1)物体和板之间的最大静摩擦力可提供的最大加速度大于a=1m/s 2,所以它们之间无相对运动。
1112222120f m a f N N N mg μ=⎧⎪=⎨⎪--=⎩解方程组并代入数据得: 1212.94f N f N =⎧⎨=⎩ 所以物体和板以及板和桌面间的相互作用力分别为1N 和2.94N 。
m 1gf 1N 1a 1a 2N 2 N 1' m 2gF f 1'f 2 xy(2)其中,N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ0N 1,f 2=μ2N 2,选图示坐标系o-xy ,对m 1,m 2分别应用牛顿二定律,有01111101222221200N m a N m g F N N m a N N m g μμμ=⎧⎪-=⎪⎨--=⎪⎪--=⎩ 解方程组,得 ()1020121222/a ga F m g m g m g m μμμμ==---要把木板从下面抽出来,必须满足12a a >,即01212220F m g m g m g m gμμμμ--->()()()()02120.50.3129.8 2.352F m m g N μμ∴>++=+⨯+⨯= 即要把木板从下面抽出来,沿水平方向必须用大于2.352N 的力。
2.23沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示,火箭质量为2kg ,t=0时处于静止,求火箭发射后的最大速率和最大高度(注意,推力大于重力时才启动)。
解:根据推力F-t 图像,可知F=4.9t (t ≤20),令F=mg ,即4.9t=2×9.8,t=4s ,因此,火箭发射可分为三个阶段:t=0—4s 为第一阶段,由于推力小于重力,火箭静止,v=0,y=0;t=4—20s 为第二阶段,火箭作变加速直线运动,设t=20s 时,y = y 1,v = v max ;t ≥20s 为第三阶段,火箭只受重力作用,作竖直上抛运动,设达最大 高度时的坐标 y=y 2.第二阶段的动力学方程为:F- mg = m dv/dtt(s)F(N)98202.23题/ 4.9/29.8dv F mdt gdt tdt dt =-=-()0444.9/29.820vt tdv tdt dtt =-≤⎰⎰⎰()24.9/49.84 4.920v t t t =-+⨯≤ 1max 220202024441(20)314/(4.9/49.84 4.9)4.9/49.84 4.91672y v v m sdy vdt t t dt dy t dt tdt dty m====-+⨯∴=-+⨯=⎰⎰⎰⎰第三阶段运动学方程)2()20(9.4)20(314),1()20(8.931421---=---=t t y y t v令v=0,由(1)求得达最大高度y 2时所用时间(t-20)=32,代入(2)中,得y 2-y 1=5030 y 2=y max =5030+1672=6702(m)2.24汽车质量为1.2×10kN ,在半径为100m 的水平圆形弯道上行驶,公路内外侧倾斜15°,沿公路取自然坐标,汽车运动学方程为s=0.5t 3+20t (m),自t=5s 开始匀速运动,试求公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力的大小,并指出是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧解:以地为参考系,把汽车视为质点,受力及运动情况如图示:v=ds/dt=1.5t 2+20,v| t=5 =1.5×52+20=57.5m/s ,a n =v 2/R=57.52/100=33 设摩擦力f 方向指向外侧,取图示坐标o-xy ,应用牛顿第二定律:②①ααααααααcos sin cos sin sin cos sin cos f ma N ma f N f mg N mg f N n n+==--==+②/①得:)sin /()cos (αααf mg f ma tg n -+=ααααααααtg a gtg m f f ma tg f mgtg n n sin cos )(,cos sin +-=+=-0,043.3033158.9<∴<-=-︒=-f tg a gtg n α ,说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反,指向内侧。
2.25 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶,斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02,所受阻力等于卡车重量的0.04,如果卡车以同样的功率匀速下坡,卡车的速率是多少解:设卡车匀速上坡时,速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有,F = (0.04+sin α)mg ,∴N = Fv = (0.04+sin α)mgv设卡车匀速下坡时,速率为v ’,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sin α= 0.04mg, F'=(0.04-sin α)mg, ∴N'= (0.04-sin α)mgv'.令N'= N, 即(0.04+sin α)mgv = (0.04-sin α)mgv',可求得:v'= v(0.04+sin α)/(0.04-sin α). 利用三角函数关系式,可求得: sin α≈tg α=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s.2.26如图所示,质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动,木块与一不可伸长的轻绳相连,绳跨过一固定的光滑小环,绳端作用着大小不变的力T=50N ,木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ,求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。
20.88/m s解:以A 为原点建立图示坐标o-x ,木块由A 到B,只有拉力T 做功:⎰⎰⎰+--===43)4()4(4422cos x dx x x T dx T dx F A θJx x x d x T100)35(50|9)4(50|]9)4[(2]9)4[(]9)4[(402402/122504022/122=-⨯=+-=+-⨯-=+-+--=⎰- 设木块到达B 时的速度为v ,由动能定理:221221mv mv A -= s m v m A v /88.2065.0/1002/2220≈+⨯=+=,方向向右4m3m AB T xθ2.26题2.27题2.27 如图所示,质量为1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上,不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环,孔的直径远小于它到杆的距离。