i1 j1
ji
3、所一ri对有对内f任内ij 力力意rj对对参OfOji考的的力r点力i 矩矩Of矢ij矢，量量r质j和和点fij 系 (内ri 所rj 有) 内fij 力rij对 fOij 的0 力fij 矩i矢rir量ij 和rjj为0f。ji
n
M (i)
n
ri
fij
0
O
i1 j1
4、质点系内ji所有内力做功之和一般不为0。
§2.3 质点系的角动量定理和角动量守恒定律
一、质点系的角动量
J
n
(ri miri )
i 1
二、质点系对固定点O的角动量定理
miri
F (i)
i
F (e)
i
ri miri ri F（i i） ri Fie
ri miri ri F（i i） ri Fie
i
i
i
=0
d dt
Fi
i
drvi
Frie drvi dV
i
i
dT dV dT dV d (T V ) 0 T V E(const)
四、柯尼希定理(质点组相对于固定点的动能=?相对于质心的动能) ri rc ri '
T i 12miri 2 i 12mi (rc ri ' )2 i 12mirc2 i 12miri '2 i mirc ri '
内力：质点组内各个质点之间相互作用的力，就叫做内力 。 F (i) 外力：质点组以外的物体作用于质点组的力就叫外力。F (e)
内、外力之分是相对的。 三、质点系动力学研究方法
方法1 对质点系内每个质点建立运动微分方程，用计算机数值求解；
方法2 从整体上研究质点系存在哪些普遍规律（动量、角动量等）。
i 1
M
i 1
rc
rdm M
z rc
O
m1 m2
c
mi
ri
y
它是诸质点位置的加权平均，质量相当于权重。x
2、几点说明
(1) 分量式
n
mi xi
xc
i 1
M
n
mi yi
yc
i 1
M
n
mi zi
zc
i 1
M
连续体的质心
xdm xc M
ydm
zdm
yc M
zc M
(2) 对于质量均匀分布的连续体，其质心就是它的几何中心。
pr
mirv&i
r MvC
二、质点系的动量定理
d dt
n i1
pi
dp dt
=0
dp
F (e)
dt
质点组总动量的变化与内力无关，内力只能改变组内各 质点的运动情况而不能改变整体的动量 。
三、质心运动定理
质心的加速度
ac
rc
n miri
i 1
M
n mi ai
i 1
M
质心运动定理
f
e
iy
)
0
i
J C
Jx Cx
四、质点组对质心的角动量定理
建立随质心平动的参照系C-x’y’z’,即质心坐标系
mi
ri r'i'mFiir(ii')
Fir(ie')F（i (i）mi
rcr)'i
Fie
(ri 'mirc )
i
i
i
i
d
dt
(ri 'mi
ri ')
0
d dt
i
(ri 'miri ')
i
F (i)
i
dri '
i
(mirc ) dri ' Nhomakorabead
i
(
1 2
mi
r'i2
)
i
Fie dri '
i
F (i)
i
dri '
rc midri '
i
rc d miri ' 0
i
小结：
对固定点
dp
F (e)
dt
dJ
M (e)
dt
对质心
Mrc
F (e)
dJ '
M
A O
质量为m均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图 所示，开始时，圆盘静止，且R=2r，则圆盘将如何运动？
R r
F
F R
r
F
R
r 2F
F
有关质心和内力的讨论
1、利用质心系分解质点组的运动。
根据质心运动定理易于确定质心的运动；在质心系中研究 问题可以使问题简化，因此一般把质点组的运动分解为一 质心为代表的“平动”和相对质心系的运动。
vc '
n miri '
i 1
0
M
ac
'
0
例题、求腰长为 a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
解：质心必位于x轴上
xc
xdm M
a/ 2
0 x2x dx
1 a2
2
y a
o
x
x dx
2a 3
例题、求夹角为的匀质扇形盘面的质心位置。
ydm
解： yc M
y R
yrdrd
因为y r cos
2、一个人在圆形水平台上沿边缘走动，此台可绕其中心的铅垂 轴转动，开始时两者都静止。试求人在平台上走完一周时的绝 对角位移（假定人和平台的重量相等）。
3、已知桌面水平光滑，起初m作半径为L的匀速圆周运动，
速率v0，重物M静止，后放手，M下落。求：下落h(h< L)时
的重物M的速度。
v0
Lm
M
§2.4 动能定理与机械能守恒律
i
ri 'Fie
(miri 'rc ) ( miri ')rc 0
i
i
dJ '
M '(e)
dt
对于一般动点，大多不成立。
例题、在一光滑的水平面上有两个质量均为m的质点连接在一根 刚性轻杆两端，杆长为L，整个体系处于静止状态。在t=0时刻， 一个大小恒定的力F作用于其中一个质点上，方向始终在该水平 面上并保持与轻杆垂直。试证明，当轻杆转过θ角度时杆的角速
Mac
n
mi ai
n
(Fi(i) Fi(e) )
i 1
i 1
n
n
n
F (i) i
F (e) i
F (e) i
i 1
i 1
i 1
M&rr&c
r F
(e)
四、质点系的动量守恒律
F(e) 0
p
C
Fx(e) 0
F (e) 0
px C
vrc rr&c cr
dp
F (e)
(3) 如果一个体系由几个部分组成，其质心位置？
CB
CA
C
mB
(4) 质心位矢、速度、加速度 对于惯性参照系O—xyz，
mA
B
A
n
rc
mi ri
i 1
M
vc
rc
n miri
i 1
M
ac
rc
n miri
i 1
M
对于质心参照系 C-x’y’z’
n
rc '
miri '
i 1
0
M
i 1
质心将按惯性运动
2、两体相对于质心的运动
(也即r1 '
,
r2
'
的变化规律)
2相对于1的位矢
由质心定义 两体相对质心的运动可以通过两体的相对运动求得。
因此当轻杆转过θ角度时杆的角速度为
2F mL
课本p92例题
例题、半径为r,质量为M的水平匀质圆盘可绕通过其圆心的铅
直轴转动。一个质量为m的甲虫，以相对圆盘速度为 v at
（ a 为常数）的规律沿圆盘的边缘爬行。开始时，两者都静止，
假设桌面光滑，试求甲虫爬行后，圆盘的角速度。
解：该系统对竖直轴r 的力矩r 为0，故角动量守恒，即 L圆盘 L甲虫 0
2、内力的作用
质点系的总动量和总角动量对时间的变化率与内力无关，但 这并非表明内力对质点系的运动没有贡献，它改变了质点组 内单个质点的动量和角动量。
3、质点系内的质点是在外力和内力的共同作用下运动的，对 质点系内的质点来说，内力与外力有等同的作用。
4、质点系内的一对对内力造成了单个质点间动量与角动量的等 量转移，内力对质点系的运动至关重要。
第二章 质点组力学
理论体系：质点→ 质点组→ 刚体
本章内容： 质点组三大定理、三大守恒律
动量定理和动量守恒律 角动量定理和角动量守恒律 动能定理和机械能守恒律 两个例子 两体运动 变质量物体的运动 ➢ 质心坐标系和实验室坐标系 ➢ 维里定理
§2.1 质点组 一、质点组：由许多质点组成的系统，叫做质点组，也称质点系。 二、内力与外力
四、学好本章的要点：
明确质点系要从整体上进行研究的思想； 理解内力对三大定理的影响； 掌握质心的概念和质点组相对质心系的运动特点。
五、质点组内力的特点
1、内力成对出现。
每对内力大小相等、方向相反，沿两质点连线方向。 fij f ji
2、质点系所有内力之和为0。
n n
F (i)
fij 0
M
R r 2dr 0
2
cosd
2
O
x
M
R3 2sin
3 2