江苏省海安高级中学高三数学试题江苏省海安高级中学高三数学试题必做题部分(本部分满分160分,考试时间120分钟)一、填空题: 本大题共14小题,每小题5分,共计70分1.为虚数单位,则的实部是▲ .2.已知集合,,若,则实数a ▲ .3.设是等差数列,若,,则数列的前10项和为▲ .4.三张卡片上分别写上字母E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为▲ .5.已知是三个互不重合的平面,是一条直线,给出下列四个命题:①若,则; ②若,则;③若上有两个点到的距离相等,则;④若,则.其中正确命题的序号是▲ .6.如图,在6×6方格纸中有向量,若满足,则▲ .7. 按如图所示的程序框图运行程序后,输出的结果是63,则判断框中的整数H的值是▲ .8.某校举行演讲比赛,9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字茎叶图中的无法看清,若统计员计算无误,则数字应该是▲ .9.已知实数满足,则的最大值是▲ .10.已知函数若数列满足,且是递增数列,则实数a的取值范围是▲ .11.已知A、B、C是直线l上的三点,向量满足,则函数y fx的表达式为▲ .12. 已知实数满足,则的取值范围是▲ .13.设圆:,直线:,点在直线上,若在圆上存在一点,使得(为坐标原点),则的取值范围为▲ .14.若数列满足:对任意的,只有有限个正整数m使得成立,记这样的m 的个数为,则得到一个新数列.例如,若数列是,则数列是.已知对任意的,,▲ .二、解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,点A在轴的正半轴上,直线AB的倾斜角为,OB 2,设. (1)用表示点B的坐标及OA的长度; (2)若的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P?ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD60°,M为PC上一点,且PA?//?平面BDM. (1)求证:M为PC的中点; (2)求证:平面ADM⊥平面PBC.17.(本小题满分14分)某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处(如图),一条海岸线AO在城市O的正东方向,另一条海岸线OB在城市O北偏东方向,位于城市O北偏东方向15km 的P处有一个美丽的小岛.旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路:从城市O出发沿海岸线OA到达C处,再从海面直线航行,途经小岛P到达海岸线OB的D处,然后返回城市O.设OC t km,这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积为St. (1)写出St关于t的函数关系式及函数定义域;(2)要使面积最小,C应选址何处?并求出最小面积.18.(本题满分16分)已知圆:交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,直线l:为准线的椭圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)若M是直线l上的任意一点,以OM为直径的圆K与圆O相交于P、Q两点,求证:直线PQ 必过定点E,并求出点E的坐标;(3)在(2)的条件下,直线PQ与椭圆C交于G、H两点,点G在x轴上方, ,求此时弦PQ的长.19.(本题满分16分)已知定义在上的三个函数,,,且在处取得极值.w_w w. k#s5_u.c o*m(1)求实数a的值及函数的单调区间;(2)求证:当时,恒有成立;(3)把对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲线C2,求C2与对应曲线C3的交点个数,并说明理由.20. (本题满分16分)已知集合中的元素都是正整数,且,对任意的且,有≥.(1)求证:≥;(2)求证:;(3)对于,试给出一个满足条件的集合.附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.(本题满分10分)设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换.(1)求矩阵M及其逆矩阵;(2)在平面xoy中,求在的作用下,椭圆变换后的曲线方程.22.(本题满分10分)求经过极点三点的圆的极坐标方程.23.(本题满分10分)某地区举办科技创新大赛,有50件科技作品参赛,大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用5分制,若设“创新性”得分为,“实用性”得分为,统计结果如下表:作品数量实用性1分2分3分4分5分创新性 1分 1 3 1 0 12分 1 0 7 5 13分 2 1 0 9 34分16 05分0 0 1 1 3(1)求“创新性为4分且实用性为3分”的概率;(2)若“实用性”得分的数学期望为,求、的值.24.(本题满分10分),求证: .江苏省海安高级中学高三数学试题参考答案1. 2. 3.4. 5.②④ 6. 7. 5 8. 29.9 10. 2,3 11. 1213. 14.15.解:(1)由三角函数的定义,得点B的坐标为. ……………… 2分在由正弦定理得,得, ……………… 4分即.所以.……………… 6分注:若用直线AB方程求得也得分. (2)由(1)得.…………… 8分因为所以.……………… 10分又所以 . ………………14分16.解(1)证明:连AC,设AC与BD交于G.由于 PA//平面BDM,面PAC∩面BDMMG,所以, PA//MG ………………3分底面ABCD为菱形, G为AC的中点,则MG为△PAC的中位线.故M是PC的中点. ………………6分 (2)分别取AD、PB的中点O、N,连PO,BO,ON, MN.△PAD是正三角形,于是PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,所以,PO⊥平面ABCD.则 PO⊥BC. ………………8分底面ABCD是菱形,且∠BAD60°,有△ABD是正三角形,AD⊥OB.因BC//AD,所以BC⊥OB.PO∩OBO,于是BC⊥平面POB .ON平面POB .从而BC⊥ON. ………………10分而△PAD≌△BAD,POBO, N是PB的中点,于是,PB⊥ON.PB∩BCB,所以ON⊥平面PBC.………………12分又M、N分别是PC、PB的中点,MN//BC,且BC//AD,则MN//AD.所以ON平面ADM.故面ADM⊥面PBC. ………………14分17.解(1)以O为原点,直线OA为x轴建立平面直角坐标系据题意,直线OB的倾斜角为 ,从而直线OB的方程为y 3x. ………………3分由已知,OP15,,得点P的坐标为(9,12). ………6分直线PC的方程为 :, 联立y3x,得,,则 t >5.于是, t >5.………9分(2)120.上当且仅当,即t10时取等号. ……………12分而当时,.当t10时,S△OCD取最小值120.答:当C地处于城市O正东方向10km处时,能使三角形区域面积最小,其最小面积为120km2. ……………14分18.解(1)设椭圆的标准方程为.则从而故.椭圆的标准方程为. …………………4分(2)设,则圆方程为 .将圆方程与圆方程联立,消去得直线PQ的方程为,所以直线过定点. …………………8分(3)设G、H两点的坐标分别为、,则①……10分由于, ,即……………12分代入①解得:(由图舍去正值),,即. ……………………14分所以直线PQ的方程为 .圆心到直线PQ的距离, 于是...................16分19.解(1),,,∴. (2)分而,,令得;令得.∴函数单调递增区间是;单调递减区间是. ………………4分(2)∵,∴,∴,欲证,只需要证明,即证明,……7分记,∴,当时,,∴在上是增函数,∴,∴,即,∴,故结论成立. ………………10分(3)由(1)知,,∴C2对应的表达式为,问题转化为求函数与图象交点个数.即求方程,即根的个数.…………12分设,,.当时,,为减函数;当时,,为增函数.而,图象是开口向下的抛物线.作出函数与的图象,,而可知交点个数为2个,即曲线C2与C3的交点个数为2个. ………16分k#s5_u.c o*m20. 1 证明:依题意有,又,因此.可得.所以.即. …………………4分(2)证明:由1可得.又,可得,因此.同理,可知.又,可得,所以均成立.当时,取,则,可知又当时,.所以. …………… 10分(3)解:对于任意,,由可知,,即.因此,只需对,成立即可.因为;;;,因此可设;;;;.由,可得,取.由,可得,取.由,可得,取.由,可得,取.所以满足条件的一个集合.……………16分附加题部分21.解(1)由条件得矩阵, …………3分.…………6分(2)椭圆在的作用下的新曲线的方程为.………10分22.解将点的极坐标化为直角坐标,点的直角坐标分别为,故是以为斜边的等腰直角三角形,圆心为,半径为,圆的直角坐标方程为,即,…………5分将代入上述方程,得,即. ……………10分23.解(1)从表中可以看出,“创新性为4分且实用性为分”的作品数量为6件,∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为. …………3分(2)由表可知“实用性”得分有1分、2分、3分、4分、5分五个等级,且每个等级分别有5件,件,15件,15件,件. “实用性”得分的分布列为:1 2 3 4 5 ……………7分又∵“实用性”得分的数学期望为,∴.∵作品数量共有50件,∴解得,. ……………………10分24. 证明由于,,……………………4分所以.即. ……………………6分令,则有. ……………………8分即,即.因此原不等式成立.……………………10分。