第4讲 重力势能、弹性势能和动能定理知识要点:1..掌握重力做功与重力势能改变量之间的关系2.掌握弹力做功与弹性势能改变量之间的关系3.掌握动能定理及其应用1．质量m =200kg 的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图象甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图象乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。
设汽车在运动过程中阻力不变，在18s 末汽车的速度恰好达到最大.则下列说法正确的是( )A ．汽车受到的阻力200NB ．汽车的最大牵引力为700NC ．汽车在做变加速运动过程中的位移大小为90mD ．8s~18s 过程中汽车牵引力做的功为7×104 J【答案】D 根据机车保持恒定的加速度启动，先做匀加速直线运动，当功率增大到最大功率后做变加速直线运动，最后牵引力减小到等于阻力时做匀速直线运动. A 、机车匀速时有 ，可得；故A 错误.B 、对启动的过程分析可知，最初的匀加速阶段时的牵引力最大，而由v-t 图象可知，故最大牵引力为 ；B 错误.C 、汽车在做变加速运动过程的时间 ，速度从8m/s 增大为10m/s ，此过程牵引力的功率保持不变，由动能定理，解得：；故C 错误.D 、8s~18s 牵引力的功率保持不变，则牵引力的功为 ，故D 正确.2．细绳拴一个质量为m 的小球将固定在墙上的轻质弹簧压缩，小球与弹簧不粘连。
距地面的高度为h ，如图所示。
现将细线烧断，不计空气阻力，则 A ．小球的加速度始终为g B ．弹簧的弹力对小球做负功C ．小球离开弹簧后在空中做平抛运动D ．小球落地前瞬间的动能一定大于mgh【答案】D 【解析】在绳子烧断之后小球受到弹簧的弹力和重力作用，合力斜向下，合力大于重力，所以烧断瞬间加速度大于g ，故选项A 错误；离开弹簧之后，小球只受到重力的作用，机械能守恒，故B 错误；小球离开弹簧时其速度方向沿合力方向，不是水平方向，所以小球离开弹簧之后尽管只受到重力作用，但是不做平抛运动，3．自空中某处水平抛出一物体（质点）至落地过程中，位移方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，取地面为参考平面，则物体被抛出时，其重力势能和动能之比为（ ） A ．4tan 2θ B ．4cos 2θ C ．2tan 2θ D ．2cos 2θ【答案】A 【详解】物体做平抛运动，假设落地速度为v ，由于落地的位移方向与水平方向的夹角为θ，若设速度方向与水平方向夹角为α，则 ，则水平分速度为：v 0=v x =vcos α；竖直分速度为：v y =vsin α；由于平抛运动的水平分运动为匀速直线运动，故v 0=v x =vcos α；由于平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，故高度为：，抛出时的动能为：E k 0＝ mv 02＝ mv 2cos 2α，抛出时的势能为：E p0=mgh=mv 2sin 2α，因而动能与势能之比。
故选A 。
4．（多选）质量为400 kg 的赛车在平直赛道上以恒定功率加速，受到的阻力不变，其加速度a 和速度的倒数的关系如图所示，则赛车在加速的过程中A ．速度随时间均匀增大B ．加速度随时间均匀增大C ．输出功率为160 kWD ．所受阻力大小为1 60 ND ．已知小球t 1时间内上升的高度为h 1，则可求出t 1时刻小球的速度5．如图所示，一个质量为m 的物体以某一速度从A 点冲上倾角为30°的斜面，其运动的加速度为56g ，这物体在斜面上上升的最大高度为h ，则物体在斜面上运动的整个过程中A ．上升过程物体动能减少了53mgh B ．上升过程重力势能增加了56mghC ．物体在斜面上运动的整个过程机械能损失了23mgh D ．物体沿斜面上升过程克服重力做功的平均功率小于下降过程重力做功的平均功率 【答案】AC 【解析】试题分析：根据牛顿第二定律5sin 306mg f m g ︒+=⋅，解得13f mg =，物体上升的高度为h ，故重力做功G W mgh =-，所以重力势能增加mgh ，摩擦力做功122sin 3033f h W fs fmg h mgh =-=-=-⋅=-︒，故根据动能定理可得53k G f E W W mgh ∆=+=-，故A 正确B 错误；克服摩擦力做功等于机械能减少量，故物体在斜面上运动的整个过程机械能损失了23mgh ，C 正确；由于物块在运动的过程中克服摩擦力做功，所以物块回到出发点时的速度一定小于开始时的速度，所以物块上升过程中的平均速度大于下降过程中的平均速度，所以物体沿斜面上升过程克服重力做功的平均功率大于下降过程重力做功的平均功率，故D 错误；6．如图，水平地面上有一固定光滑斜面AB，其底端B点与半径为R的四分之一圆弧平滑连接，圆弧的端点C与圆心在同一水平线上，M、N为C点正上方两点，距离C点分别为2R和R，现将一小球从M点静止释放，小球在AB上能到达最高处D点距水平面的高度为2R，接着小球沿斜面滑下返回进入圆弧轨道，若不考虑阻力，则（）A．小球返回轨道后沿轨道运动可能到不了C点B．小球返回轨道后能沿轨道一直运动，并上升到N点C．小球返回轨道后沿轨道运动到C点时，速度一定大于零D．若将小球从N点静止释放，则小球在AB上能到达最高处距水平面的高度等于R【答案】C【解析】试题分析：据题意可知，小球从M静止释放能到达D点，由能量关系可知在经过四分之一圆弧过程中损失的机械能为mgR（小球在圆弧轨道上运动的速度越大，与轨道间的压力越大，摩擦力也就越大，摩擦力做功越多，损失的机械能也越多；同理速度越小摩擦力做功就越少，损失的机械能也就越少）；当小球从D点返回时，经过圆弧轨道的速度要小于从M点开始下落时经过圆弧轨道的速度，所以在返回过程中损失的机械能小于mgR．故一定能到达C点，所以A错误。
因为若返回过程中没有机械能损失的话恰好能回到N点，而现在有机械能损失所以不可能回到N点，故B错误。
由于在返回过程中损失的能量小于mgR，所以小球到达C点时速度一定大于零，所以C正确。
若将小球从N点静止释放，小球能量小于mgR，所以小球在AB上能到达最高处距水平面的高度h满足R＜h＜2R，所以D错误。
7．如图所示，物体A、B通过细绳以及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体B的质量为2m，放置在倾角为30°的光滑斜面上，物体A的质量为m，开始时细绳伸直。
用手托着物体A使弹簧处于原长，A与地面的距离为h，物体B静止在斜面上挡板P处，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对挡板恰好无压力，则下列说法正确的是A．弹簧的劲度系数为2B．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上C．此时弹簧的弹性势能等于D．此时物体B可能离开挡板沿斜面向上运动【答案】C【解析】A项，对物块B进行受力分析，由于B此时对档板的压力为零，即B受到的力有重力、弹簧的拉力、斜面对它的支持力，，可得弹簧对它的拉力，即，解得：，故A错误；B项，A受到弹簧向上的拉力为mg，其受到的合力为零，其加速度的大小为零，故B项错误。
C项，对刚放手时与A到底端时的两个状态进行对比，运用机械能守恒定律得，故此时弹簧的弹性势能，故C项正确。
D项，当A触底后，弹簧对B的拉力仍为mg，B只有受到大于mg的拉力时才会离开档板沿斜面向上运动，所以此后物体B不可能离开挡板沿斜面向上运动，故D项错误。
8．如图所示，轻质弹簧上端固定，下端悬挂一个质量为m=0.5kg的物块，处于静止状态，以物块所在处为原点，竖直向下为正方向建立x轴，重力加速度。
现对物块施加竖直向下的拉力F，F随x轴坐标变化的情况如图所示。
物块运动至x=0.4m处时速度为零，则物体下降0.4m过程中，弹簧的弹性势能的增加量为A．5.5J B．1.5J C．2.0J D．3.5J【答案】A【解析】试题分析：弹簧的弹性势能的增加量大小等于克服弹力所做的功，过程中，拉力F和弹力、重力做功，初速度为零，末速度为零，根据动能定理可得弹，根据功的定义可知F-x图像与坐标围成的面积表示F所做的功，所以（）（），重力做功，代入可得弹，即弹簧的弹性势能增加5.5J，A正确；9．如图甲所示，平行于斜面的轻弹簧，劲度系数为 k，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与Q物块连接，P、Q质量均为m，斜面光滑且固定在水平面上，初始时物块均静止。
现用平行于斜面向上的力F拉物块P，使P做加速度为a 的匀加速运动，两个物块在开始一段时间内的v t图象如图乙所示（重力加速度为g），则下列说法不正确．．．的是A．平行于斜面向上的拉力F一直增大B．外力施加的瞬间，P、Q间的弹力大小为m（gsinθ - a）C．从O开始到t1时刻，弹簧释放的弹性势能为12mv12D．t2时刻弹簧恢复到原长，物块Q达到速度最大值【答案】ACD【解析】试题分析：由图乙可知，t1时刻P、Q两物体开始分离，在分离前，两物体做匀加速运动，因弹簧的伸长，弹力减小，而合力又要保持不变，故拉力会一直增大，但当分离后，物块P仍做匀加速直线运动，故此时拉力就不变了，所以选项A不正确；在外力施加的瞬间，对于P、Q的整体而言，由牛顿第二定律可知：F－2mgsinθ+kx=2ma，得F=2mgsinθ－kx+2ma，因为开始时，拉力F最小，故此时有：2mgsinθ=kx，即F=2ma；对P受力分析，F+F弹－mgsinθ=ma，得F弹= mgsinθ－ma，所以选项B正确；从0开始到t1时刻，由动能定理，则有W f+W弹+W G=12mv12－0，弹簧释放的弹性势能不等于12mv12，选项C不正确；当t2时刻，物块Q达到速度的最大值，则加速度为0，因此弹簧对Q有弹力作用，没有达到原长，故选项D不正确，所以该题选ACD。
O10．某质量m＝1500kg的“双引擎”小汽车，行驶速度v≤54km/h时靠电动机输出动力；行驶速度在54km/h<v≤90km/h范围内时靠汽油机输出动力，同时内部电池充电；当行驶速度v >90km/h时汽油机和电动机同时工作，这种汽车更节能环保．该小汽车在一条平直的公路上由静止启动，汽车的牵引力F随运动时间t的图线如图所示，所受阻力恒为1250N．已知汽车在t0时刻第一次切换动力引擎，以后保持恒定功率行驶至第11s末．则在前11s内A．经过计算t0＝6sB．电动机输出的最大功率为60kWC．汽油机工作期间牵引力做的功为4.5×105JD．汽车的位移为160m【答案】AC A：开始阶段，牵引力，据牛顿第二定律可得，，解得：开始阶段加速度a＝2.5m/s2．v1＝54km/h＝15m/s，据，解得t0＝6s．故A项正确．B：t0时刻，电动机输出的功率最大，且．故B项错误．C：汽油机工作期间，功率，11s时刻汽车的速度，汽油机工作期间牵引力做的功．故C项正确．D：汽车前6s内的位移，后5s内根据动能定理得：，解得：汽车后5s内的位移．所以前11s时间内汽车的位移．D错11．如图，质量均为m的物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧。