绝对值综合专题讲义
绝对值的定义及性质
绝对值的定义：
绝对值的性质：
（1）绝对值的非负性，可以用下式表示
（2） |a|=
（ 3）若|a|=a，则；若|a|=-a，则；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，
（4）若 |a|=|b| ，则
（ 5）|a+b||a|+|b||a-b|||a|-|b||
|a|+|b||a+b||a|+|b||a-b|
【例 1】
（ 1）绝对值大于而小于的整数有多少个
（ 2）若 ab<|ab|，则下列结论正确的是（）
＜ 0， b＜ 0＞ 0， b＜ 0＜ 0， b＞ 0＜ 0
（ 3）下列各组判断中，正确的是（）
A．若 |a|=b，则一定有 a=b B.若|a| ＞ |b|,则一定有 a＞ b
C. 若 |a| ＞b，则一定有 |a|＞ |b|
D.若 |a|=b，则一定有 a 2 =(-b)2
（ 4）设 a， b 是有理数，则 |a+b|+9 有最小值还是最大值其值是多少
（ 5）若3|x-2|+|y+3|=0，则y
的值是多少x
（ 6）若|x+3|+(y-1) 2 =0，求( 4 ) n的值
y x
【巩固】
1、绝对值小于的整数有哪些它们的和为多少
2、有理数 a 与 b 满足 |a|>|b|，则下面哪个答案正确（）
＞b =b <b D.无法确定
3、若 |x-3|=3-x，则x的取值范围是____________
4、若 a＞ b，且 |a|<|b|，则下面判断正确的是（）
＜0 ＞ 0＜0＞0
5、设a,b是有理数，则8 | a b | 是有最大值还是最小值其值是多少
小知识点汇总：
若 (x-a) 2 +(x-b)2 =0, 则；若 |x-a|+(x-b)2 =0, 则；
若 |x-a|+|x-b|=0，则；
简单的绝对值方程
【例 2】
（ 1）已知 x 是有理数，且 |x|=|-4|，那么 x= ＿＿＿＿
（ 2）已知 x 是有理数，且 -|x|=-|2|，那么 x=＿＿＿＿
（ 3）已知 x 是有理数，且 -|-x|=-|2|，那么 x=＿＿＿＿
（4）如果 x， y 表示有理数，且 x，y 满足条件 |x|=5 ，|y|=2 ， |x-y|=y-x ，那么 x+y 的值是多少
（ 5）解方程3
| x 5 | 5 0 2
（6）解方程 |4x+8|=12
（ 7）若已知 a 与 b 互为相反数，且 |a-b|=4，求
a
ab
b
的值a2ab1
【巩固】
1、巩固 |x|=4 ， |y|=6 ，求代数式 |x+y| 的值
2、解方程 |3x+2|=-1
3、已知 |x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求
1 x 2xy 4 y的值
3
化简绝对式
【例 3】
（ 1）已知 a=- 1
， b=-1 ，求 | 2a4b |42的值23(a2b)2| a 2b || 4b 3 | 2a 3 ||
（2）若 |a|=b ，求 |a+b| 的值
（3）化简： |a-b|
（ 4）有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
C B 0A
【巩固】
1、化简：（1） | π |（2）|8-x|（x≥ 8）
2、已知 a， b， c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|
a0 c b
3、数 a， b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||
a0 b
【例 4】（ 1）若 a<-b 且a
0 ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| b
（2）若 -2 ≤ a≤ 0，化简 |a+2|+|a-2|
（ 3）已知 x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（4）已知 x<-3, 化简 |3+|2-|1+x|||
（5）化简 |x+5|+|2x-3|
（6）若 a<0，试化简
2a |3a |
||3a | a |
（ 7）若 abc ≠ 0，则a
b c的所有可能值| a || b || c|
【巩固】
1、如果 0<m<10并且 m≤ x≤ 10，化简 |x-m|+|x-10|+|x-m-10|
2、有理数 a， b， c， d，满足| abcd |
1 ，求
| a |
| b || c || d | 的值abcd a b c d
3、化简： |2x-1|
4、求 |m|+|m-1+|m-2|的值
绝对值几何意义的应用
|a| 的几何意义：；|a-b|的几何意义：【例 5】求 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
【巩固】
1、如，在接到上有A、 B、C、 D、 E 五居民楼，在立一个筒，使五楼的居
民到筒的就努力之和最短，局立于何
A B C D E
2、 a 1、a 2、a
3、a
4、a 5五个有理数，足 a 1 < a 2< a 3 < a 4< a 5 ,求 |x- a 1 |+|x- a 2|+|x-
a 3 |+|x- a 4 |+|x- a 5 |的最小
3、 a<b<c<d, 求 y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小，并求出此x 的取
后小：
求 |x-a 1 |+|x-a 2 |+⋯+|x-a n|的最小：
附加例
【例 1】若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿
【例 2】已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿
【例 3】于 |m-1|，下列正确的是（）
≤
A.|m-1|≥ |m|
B.|m-1|≤ |m|
C. |m-1|≥ |m|-1
D. |m-
1|
|m|-1
【例 4】设 a ， b ， c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|
【例 5】化简：||x-1|-2|+|x+1|
【例 6】已知有理数 a，b， c 满足| a |
| b || c | 1 ，求
| abc|
的值a b c abc
【例 7】若a，b，c，d为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|
家庭作业
1、当 b 为何值时， 5- 2b 1 有最大值，最大值是多少
2、已知a是最小的正整数，b、 c 是有理数，并且有|2+ b|+(3 a+2c) 2=0.
求式子4ab c的值 .
a2c24
3、 |m+3 |+|n-7
|+|2p-1|=0,求p+2m+3n的值2
4、若 a，b， c 为整数，且｜ a-b ｜19+｜ c-a ｜99=1，试计算｜ c-a ｜+｜ a-b ｜+｜ b-c ｜的值
5、（ 1）已知 |x|=2 ， |y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少
（2）解方程： |4x-5|=8
6、（ 1）有理数a，b， c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|
a c0b
（ 2）若 a＜ b，求 |b-a+1|-|a-b-5|的值
（ 3）若 a＜ 0，化简 |a-|-a||
7、已知 a 是非零有理数，求
a a2a3
的值| a || a
2
|| a
3
|
8、化简 |x-1|-|x-3|
9、 6、设 a＜ b＜ c，求当 x 取何值时 |x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值
10、若x y 3 与 x y 1999 互为相反数，求x2y
的值x y
11、若 2x+｜ 4-5x ｜+｜ 1-3x ｜+4 的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值。

12、不相等的有理数a， b，c在数轴上的对应点分别为A， B，C，如果｜a-b ｜ +｜ b-c ｜ =｜a-c ｜，那么 B 点应为 ()．
(1) 在 A，C 点的右边；(2) 在 A， C点的左边；
(3)在 A，C 点之间；(4) 以上三种情况都有可能
13、设 T=｜ x-p ｜ +｜ x-15 ｜ +｜ x-p-15 ｜，其中 0＜ p＜15，对于满足p≤ x≤ 15 的 x 来说， T 的最小值是多少。