高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数的基本关系集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-同角三角函数的基本关系【知识梳理】同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】 (1)已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.(2)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.[解] (1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125. (2)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin αcos α＝m?sin α＝m cos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±11＋m2，sin α＝±m1＋m2的值．【对点训练】已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得169cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝925.又α是第三象限角，故cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.题型二、化切求值【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．(2)sin2α－2sin α·cos α－cos2α4cos2α－3sin2α；(3)34sin2α＋12cos2α.[解] (1)原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114；(2)原式＝tan2α－2tan α－14－3tan2α＝9－2×3－14－3×32＝－223；(3)原式＝34sin2α＋12cos2αsin2α＋cos2α＝34tan2α＋12tan2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.【类题通法】化切求值的方法技巧(1)已知tan α＝m，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin2α＋b sin αcos α＋c cos2αd sin2α＋e sin αcos α＋f cos2α的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(2)对于a sin2α＋b sin αcos α＋c cos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．【对点训练】已知tan α＝2，求下列各式的值：(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.解：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝4sin2α－3sin αcos α－5cos2αsin2α＋cos2α，这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝4tan2α－3tan α－5tan2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.题型三、化简三角函数式【例3】化简tan α1sin2α－1，其中α是第二象限角．[解] 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.故tan α1sin2α－1＝tan α1－sin2αsin2α＝tan αcos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.【类题通法】三角函数式化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．【对点训练】化简：(1)sin θ－cos θtan θ－1；(2) sin2θ－sin4θ，θ是第二象限角．解：(1)sin θ－cos θtan θ－1＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cos θ.(2)由于θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，故sin2θ－sin4θ＝sin2θ?1－sin2θ?＝sin2θcos2θ＝|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.题型四、证明简单的三角恒等式【例4】求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[证明] 法一：∵右边＝tan2α－sin2α?tan α－sin α?tan αsin α＝tan2α－tan2αcos2α?tan α－sin α?tan αsin α＝tan2α?1－cos2α??tan α－sin α?tan αsin α＝tan2αsin2α?tan α－sin α?tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α?1－cos α?＝sin 2αsin α?1－cos α?＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立． 【类题通法】简单的三角恒等式的证明思路(1)从一边开始，证明它等于另一边； (2)证明左、右两边等于同一个式子； (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简． 【对点训练】 证明：1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝1＋tan θ1－tan θ证明：∵左边＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ?cos θ＋sin θ??cos θ－sin θ?＝?sin θ＋cos θ?2?cos θ＋sin θ??cos θ－sin θ?＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θcos θcos θ－sin θcos θ＝1＋tan θ1－tan θ＝右边， ∴原等式成立． 【练习反馈】1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( )A.45 B ．－45C ．－17D.35解析：选B ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且sin α＝35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为________．解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝38.答案：384．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．解析：原式＝2sin α－cos αcos αsin α＋2cos αcos α＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34.答案：34解：原式＝sin2130°－2sin 130°cos130°＋cos2130°sin 130°＋cos2130°＝|sin 130°－cos 130°| sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.。