T x 2 (t )dt −2 A
0
Tx(t
0
)sin
(ω
0
t
+θ
)dt
+
A
2
T 0
sin
2
(ω
0
t
+θ
)dt
⎟⎞ ⎠
由于 ∫0Tsin 2 (ω0t
+ θ )dt
=
1 2
∫0T(1 − cos 2(ω0t
+ θ ))dt
=
T 2
，得到
( ) ∫ ∫ f
x A,θ
−1
= Fe N0
T x 2 (t )dt 2 A
ω0
ω0
s(t
)
=
⎪ ⎨
A
⎪
⎪ ⎪⎩
A（1
+
cos
ω0t）
− 2mπ < t ≤ 2mπ
ω0 2mπ
<t
≤
(2ωm0 +1)π
ω0
ω0
试证明时延τ
的无偏估计量的方差为
σ
2 τˆ
≥
3 + 4m
(2E / N0 )ω02
。其中 E 为信号能量。
解：略
9.4 接收信号 x(t) = s(t) + n(t)，s(t)的到达有时延τ ，求时延τ 的无偏估计量τˆ 的最小方差。其中 n(t)
⎤ ⎥⎦
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] = 4
N
2 0
T / 2 ∂s(t −τ )
−T / 2 ∂τ
T /2
E
−T / 2
n(t )n(u )
∂s(u −τ ) dudt
∂τ
=
4
N
2 0
T / 2 ∂s(t −τ )
−T / 2 ∂τ
T / 2 N0 δ (t − u) ∂s(u −τ ) dudt
−T / 2 2
N0 2
的高斯白噪声。求信号时
延τ 的 Bayes 估值。 A、ω0 皆为已知常量。
解：略
9.3 接收信号 x(t) = s(t −τ ) + n(t) ，其中τ 是信号 s(t)到达的时延， n(t) 是功率谱密度为 N0 的高斯白
2
噪声， s(t)的表达式为
⎧ ⎪
A(1 + cosω0t)
⎪
− (2m +1)π ≤ t ≤ − 2mπ
= 4A2 N0Δ
得到τˆ 的最小方差为
Var[τˆ] ≥
1
E
⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
∂
ln
f（x ∂α
τ）⎟⎟⎠⎞2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
=
N0Δ 4 A2
-3-
∫ ∫ = Fe N0 0
e 2N0
1
∫ 2π
2A
2π e N0
T
x
0
(t
)(sin
ω
0
t
sin
θ
+
cos
ω0
t
cos
θ
)dt
dθ
0
∫ ∫ 令 xc
=
Tx(t
0
)
cos
ω
0
tdt
=
z cos ϕ
，
xs
=
Tx(t
0
)
sin
ω0
tdt
=
z
sin ϕ
，得到
z2
=
xc2
+xs2Fra bibliotek，ϕ=
arctg
xs xc
θ θ 1
1
=
1
E
⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
∂
ln
f（x ∂α
τ）⎟⎟⎠⎞2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
E ⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
2 N0
[ ( ) ∫−TT/
2 /2
xt
−
s(t
−
τ
)]
∂s(t −
∂τ
τ
)
dt
⎟⎟⎠⎞2
⎤ ⎥ ⎥⎦
由于 x(t) − s(t −τ ) = n(t)，代入上式得
E ⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
2 N0
[ ( ) ( ∫T /2
Tx(t
0
)(sin
ω0
t
sin
θ
+
cos
ω0
t
cos
θ
)dt
dθ
2π 0
=
−
Fe
1 N0
∫T
0
x2
(t )dt − e
A2T 2N0
I0 ⎜⎜⎝⎛
2 Az N0
⎟⎟⎠⎞
（z >0）
-1-
《信号检测与估计》习题解答
( ) ln
f
xA
= ln F −
1 N0
∫0T x2
(t )dt
−
A2T 2N0
+
0
e N0
Tx(t
0
)
sin
(ω0
t
+θ
)dt
e
−
A2T 2N0
对θ 积分，得到
∫ f (x A) =
2π
f
(x
A, θ
)
f
(θ
)dθ
0
− 1 T x 2 (t )dt − A2T
∫ ∫ = Fe N0 0
e 2N0
1
∫ 2π
2A
2π e N0
T
x
0
(t
)sin
(ω
0
t
+θ
)dt
dθ
0
− 1 T x 2 (t )dt − A2T
上式中， T = L + Δ 22
( ) ln f
xτ
=
ln
F
−
1 N0
[ ( ) ∫−TT/
2 /2
xt
−
s(t
−τ
)]2 dt
( ) ∂ ln f xτ
∂τ
=
2 N0
∫−TT/
2 /2
[x(t
)
−
s(t
−τ
)]
∂s(t −
∂τ
τ
)
dt
根据克拉美—罗不等式，时延τ 的无偏估计量τˆ 的最小方差为
Var[τˆ] ≥
−T / 2
xt
−s t
−
τ
)]
∂s(t −
∂τ
τ
)
dt
⎟⎟⎠⎞
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
E ⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
2 N0
∫−TT/
2 /2
n(t
)
∂s
(t −
∂τ
τ
)
dt
⎟⎟⎠⎞
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
4
N
2 0
E
⎢⎣⎡∫−TT/
2 /2
n(t
)
∂s(t −
∂τ
τ
)
dt
∫−TT/
2 /2
n(u
)
∂s(u −
∂τ
τ
)
du
是功率谱密度为 N0 的高斯白噪声， s(t)如图题 9.4 所示。
2 s(t)
A
0
t
Δ
L
Δ
图题 9.4
解：由 s(t)信号图可知，梯形信号由宽度为 Δ 的上升沿、下降沿和宽度为 L 的平顶三部分组成，表
达式为
⎧ ⎪ ⎪
A Δ
⎜⎛ t ⎝
+
L 2
+
Δ ⎟⎞ ⎠
s(t )
=
⎪ ⎪
A
⎨
⎪− ⎪
A Δ
⎜⎛ t ⎝
ln
I
0
⎜⎜⎝⎛
2 Az N0
⎟⎟⎠⎞
振幅 A 的最大似然估计量必须满足下列方程
( ( )) ∂ ln f x A
∂A
A= Aˆ
=
∂ ln
I0
⎜⎜⎝⎛
2 Az N0
∂A
⎟⎟⎠⎞
−
AT N0
A= Aˆ = 0
9.2
接收信号 x(t) =
A[1+ cosω0 (t −τ )]+ n(t) ，其中 n(t) 是功率谱密度为
e ∫ d = 1 2π
2A N0
T
x
0
(t
)(sin
ω0
t
sin
θ
+
cos
ω
0t
cosθ
)dt
e d 2π
2A N0
(
xs
sin θ
+
xc
cosθ
)
π ∫ π ∫ 2 0
20
∫ ∫ = 1 2π
θ e d = 1 2π
2 A (z sinϕ sinθ + z cosϕ cosθ )
N0
0
2π
2π 0
2 Az cos(θ −ϕ )
e N0
dθ
=
I0 ⎜⎜⎝⎛
2 Az N0
⎟⎟⎠⎞
∫ 上式中， 1 2π
2eπxp[x cosθ ]dθ = I0 (x) 为零阶修正贝塞尔函数。得到
0
( ) ∫ ∫ − 1 T x2 (t )dt − A2T
f x A = Fe N0 0
e 2N0
1
∫ 2 A
2π e N0
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第九章习题解答
9.1 接收信号 x(t) = Asin(ω0t + θ ) + n(t)，其中 n(t) 是高斯白噪声，θ 在 (0，2π )均匀分布，现在需求振