第九章振动1、 设一物体沿x 轴作谐振动的方程为)42cos(10.0ππ+=t x，式中x ，t 的单位分别为m ，s .试求：（1）振幅，周期，频率和初相；（2）s t 5.0=时，物体的位移、速度和加速度. 解：（1）谐振动的标准方程为)cos(ϕω+=t A x ，比较题中所给方程和标准方程，知振幅m A 10.0=，角频率πω2=s rad /，初相4πϕ=.由此，周期为12==ωπTs 频率为12==πωνHz （2）0.5s 时，物体位移m m x 21007.7)45.02cos(10.0)42cos(10.0-⨯-=+⨯=+=ππππ速度s m s m t dt dx v/44.0/)45.02sin(2.0)42sin(2.0=+⨯-=+-==ππππππ 加速度2222/28/)45.02cos(4)42sin(4s m s m t dt dv a =+⨯-=+-==ππππππ 2、一质点做简谐振动，周期为2=Ts,起始时刻质点对平衡位置的位移为06.00=X m ，速度π306.00-=v m.s 1-。
求：（1）此谐振动表达式。
（2）4Tt =时质点的位置、速度、加速度。
解：（1）由题意知ππ2==Tωs 1- 12.0π3π06.006.022222220=⋅⋅+=+=ωov x A m306.0ππ306.0tan 000=⋅⋅⋅=-=x v ωϕ 因为0v -为正， 0x ω亦为正，故0ϕ在I 象限，所以 3π=ϕ， 谐振动方程式为： )3ππcos(12.0+=t x m（2）424==T ts 时，位置、速度、加速度分别为 )cos(0ϕω+=t A x 104.0)3π21πcos(12.0-=+⨯=)sin(0ϕωω+-=t A v 18.0)3π21πsin(12.0π-=+⨯⨯-= m.s 1-)cos(02ϕωω+-=t A a 1-2 m.s 03.1)3π21πcos(12.0π=+⨯⨯-=3、若简谐振动方程为)π5.0π10cos(10.0+=t x m ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）2=t s 时的位移、速度和加速度。
解：（1）10.0=A m ，π10=ωs 1-，πϕ5.00=，5π2==ωνHz 2.01==νT s（2）把2=ts 代入x ，a ，v 的表达式中0)5.02π10cos(10.0=+⨯=πx)sin(0ϕωω+-=t A v 1)5.02π10sin(10.010-=+⨯⨯-=π m..s 1-)cos(02ϕωω+-=t A a 0)5.02π10cos(1.0)π10(2=+⨯⨯-=π4、有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8×10-2m 。
若使物体上、下振动，并规定向上为正方向。
（1）当t=0时，物体在平衡位置下方4.0×10-2m 处，由静止开始向上运动，求运动方程。
（2）当t=0时，物体在平衡位置并处以0.2m ·s -1的速度向下运动，求运动方程。
解：（1）根据题给的条件，20100.4-⨯-=x m, 00=v （题取向上为正方向，且平衡位置处为原点）且2100.4-⨯=A m ，其旋转矢量应为如图9-4-1图位置，所以π0=ϕ。
又mk=ω ，而 0kx mg =,所以 0x g m k =10108.98.92=⨯=-ωs 1- 所以谐振动方程：)π10cos(100.42+⨯=-t x m（2）据题意，0=t时，00=x ，6.00-=v m.s 1-，其旋转矢量应为如图9-4-2图位置则得222222102102.00)(-⨯=+=+=ωv x A m2π0=ϕ（0=x 的投影有上、下两个OM 矢量，但0v 为负值，故只能选上面的OM 矢量），所以谐振 动方程为)2π10cos(100.42+⨯=-t x m 。
5、做简谐振动的物体，由平衡位置向x 轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？（1）由平衡位置到最大位移处；（用旋转式量方法）ϕ∆xMM 'O9-5-1图（2）由平衡位置到2A x =处；（3）由2A x =处到最大位移处。
（用旋转式量方法） 解 ：（1）作旋转矢量如图9-5-1图，得π2π21⋅===∆Ttt ωϕ因为求的是最短时间，故取向下的 旋转矢量，所以41π22π==T t（2）如图9-5-2图，t ωϕ==∆6π121=T t （3）同理 3π=∆ϕ61=T t 。
6、某振动质点的t x -曲线如9-6图所示，试求： （1）振动的周期和初相；（2）点P 位置所对应的相位和时刻。
解（1）由曲线知，0=t时 ，05.00=x m=2A，作旋转矢量如图9-6-1图所示，3π0-=ϕ。
由旋转矢量得，41=t s 时，2π01=+ϕωt 所以π24543π2π=+=ωs 1-，所以运动周期为： 6.92==ωπT s 。
（2）如图9-6-2图，0=P ϕ，即 00==+p t ϕϕω所以 58π5243π0=⋅=-=ωϕts 。
7、在一块不计质量的平板下面装有弹簧，弹簧的倔强系数216π=kN ·s-1,平板上放有一质量为1.0kg 的重物。
现使平板沿竖直方向作上下简谐运动，振幅为2.0×10-2m 。
求： （1）平板到最低点时，重物对平板的作用力。
（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板.解：（1）重物对平板的作 用力可以通过板对重物的支持力来求，设其为N F ，则有：ma F mg N =-（取如9-7-1图坐标）。
在最低点，谐振动的a 为最大值，且方向相上，故有A m F mg N 2ω-=-所以96.122=+=+=mkmAmg A m mg F NωN 96.12-='N F N, 方向向下。
（2）重物跳离平板时，0=NF ，且应在平衡位置上方最大位移处（即振幅处）跳离，此时应有A m ma F mg N 2ω==- （0=N F ）即：A m mg 2ω=所以，22102.6-⨯===g kmgA ωm . 8、如9-8图所示，质量为2100.1-⨯kg 的子弹，以500m.s1-的速度射人木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动。
设木块的质量为99.4kg ，弹簧的劲度系数为3100.8⨯N ·m 1-，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐振动方程。
解：计子弹射入木块时为0=t时刻，弹簧原长处为原点，则00=x ，0.12110-=+-=m m vm v m.s 1-由旋转矢量9-8-1图得2π0=ϕ 又 4021=+=m m kωs 1- ，所以 22020105.2)(-⨯=+=ωv x A m所以振动方程为 )2π40cos(105.22+⨯=-t xm 。
9、质量为0.10kg 的物体，以振幅1.0×10-2m 作简谐运动，其最大速度为4.0m ·s -1。
求：(1)振动的周期； (2)物体通过平衡位置时的总能量与动能； (3)物体在何处其动能和势能相等；(4)当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少? 解:（1）A v ω=max，Av max=ω，所以2max1057.1v Aπ2π2-⨯===ωT s.（2）此时 8.0212max ===mv E Ek J （3）设在0x 处k p E E =，则222021212121kA mv kx ⋅==，301007.722-⨯±=±=A x m （4）E kA A k kx E p412141)2(2121222=⋅===，E E E E p k 43=-=。
10、如9-10图所示，一劲度系数为21012.3⨯=kN.m 1-的轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量30.01=m kg 的物体A ，放置在光滑的水平桌面上，物体A 上再放置质量为20.02=m kg 的物体B ，已知A 、B 间静摩擦因数为50.0，求两物体间无相对运动时系统振动的最大能量．解：A 、B 间无相对滑动，则有A m a m g m 22max 22ωμ==而21m m k +=ω，所以)(21m m kg A +=μ2max 21kA E =3221221062.9)(-⨯=+=k m m g μJ 。
11、已知同方向、同频率的两简谐运动的运动方程分别为)π75.020cos(05.01+=t x m ；)π25.020cos(06.02+=t x m 。
求：（1）合振动的振幅及初相； （2）若有另一同方向、同频率的简谐振动)10cos(07.033ϕ+=t x m ，则3ϕ为多少时，32x x +的振幅最大？又3ϕ为多少时，31x x +的振幅最小？解（1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如9-11-1图），因为212πϕϕϕ-=-=∆，故合振动振幅为22221108.7-⨯=+=A A A m合振动初相位)cos cos )sin sin (arctan 22112211ϕϕϕϕϕA A A A ++=rad 48.111arctan ==（2）使32x x +振幅最大，即两振动同相，则由π2k =∆ϕ得π25.0π2π223+=+=k k ϕϕ， ,2,1,0±±=k要使31x x +的振幅最小，即两振动反向，则由π)12(+=∆k ϕ得π75.1π2π)12(13+=++=k k ϕϕ， ,2,1,0±±=k。