空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空 间任一向量p，存在一个唯一的有序实数 组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。 任意不共面的三个向量都可做为空间的一 个基底。

推论：设o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op ＝x oA ＋yoB ＋zoC 。
空间向量基本定理
复习：

共线向量定理。
对空间任意两个向量 a、 （ b b 0）， a // b的 充要条件是存在实数 ，使a＝ b。

共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1， e 2是同一平面内的两个不 共线向量， 那么对于这一平面内的 任一向量a，有且只有 一对实数1，2，使a＝1 e1＋2 e 2。 （e1、 e 2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底。）
3、向量的数量积
a b a b cos a, b
4、数量积的性质
（1）a b a b 0
（2） a a a
2
例题：

1、
已知空间四边形ABCD中，
AB⊥CD， AC⊥BD,
A
用向量方法证明：AD⊥BC. B
C
D
2、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是 菱形,且∠C1CB = ∠C1CD = ∠BCD,
求证： CC1⊥ B1BD
C1
A1
D1
小结：证明不共面的向量为基底，去表示这两个向量，
a b 再证明 0
C
D
2、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，同 一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼
此的夹角都是60°，求对角线AC1的长
B B'
Q P
'
'
'
'
CQ：QA'＝4 : 1，用基底｛ a， b， c ｝表示以下向量：
A'
N
D’
C'
M
A
D
空间向量的基本性质
习题
主要内容：
• 1、共线向量定理。
对空间任意两个向量 a、 （ b b 0）， a // b的 充要条件是存在实数 ，使a＝ b。
•2、共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
证明
P C O A A’ B P‘ B‘
例题
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC， M，N，分别是对边OA，BC的中点，点G在 线段MN上，且使MG=2GN，用基向量OA， OB，OC表示向量OG。
O M A
G
C
N
B
习题：
如图，在平行六面体 ABCD－A B C D 中， AB ＝ a， AD ＝b， AA' ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且 1)AP； 2)AM 3)AN 4） AQ
B1 A1
C1
D1
B
A
C
D

4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，的棱长等于
1，且M∈A1D, N∈AC ，求MN的长。
D1 C1
A1
B1
M D
C
N A B
D1 A1 O B1
C1
D A B
C