二次函数应用题之最值问题（讲义）一、知识点睛1.理解题意，辨识类型．二次函数应用题常见类型有：实际应用问题，最值问题．2.梳理信息，确定_______________及__________________，建立函数模型．①梳理信息时需要借助_______________．②函数模型：确定自变量和因变量；根据题意确定题目中各个量之间的等量关系，用自变量表达对应的量从而确定函数表达式．例如：问“当售价为多少元时，年利润最大”确定售价为自变量x，年利润为因变量y，年利润=(售价-进价)×年销量，用x表达年销量，从而确定y与x之间的函数关系．3.根据二次函数性质求解，_____________．验证结果是否符合实际背景及自变量取值范围要求．二、精讲精练1.某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出，且每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆，公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入-平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_______元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最大最大是多少元（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏【分析】解：2.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2 200元根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2 200元．【分析】解：3.某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大最大面积是多少（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．18米苗圃园4.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在5~50（单位：cm）之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例；每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据：（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元．（利润=出厂价-成本价）①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大最大利润是多少【分析】解：5.我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1 520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调查发现：该产品的销售单价定在150元到300元之间较为合理，销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反映的一次函数：（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损若盈利，最大利润是多少若亏损，最少亏损多少（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利1 790万元若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由．【分析】解：三、回顾与思考【参考答案】知识点睛2．函数表达式，自变量取值范围．①列表、图形．3．验证取舍．精讲精练1．（1）50 1 400-+；x（2）当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大是5 000元．（3）当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏．2．（1）2=-++（115y x x10110 2 100x≤≤，且x为正整数）；（2）每件商品的售价定为5元或6元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2 400元；（3）每件商品的售价定为51元或60元时，每个月的利润 恰为2 200元，每件商品的售价m 满足5160m ≤≤时，每 个月的利润不低于2 200元． 3．（1）230y x =-+（615x <≤）；（2）垂直于墙的一边的长为152米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是2252平方米；（3）611x ≤≤．4．设一张薄板的边长为x cm ，出厂价为y 元，利润为w 元．（1）210y x =+； （2）①2121025w x x =-++； ②当边长为25cm 时，出厂一张薄板所获得的利润最大，最 大利润是35元． 5．（1）13010y x =-+（150300x ≤≤）； （2）投资的第一年该公司亏损，最少亏损310万元； （3）不能，理由略． 二次函数应用题之最值问题 （随堂测试）1.某商场将进货单价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的销售单价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请求出y与x之间的函数关系式．（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少【分析】【参考答案】 1．（1）2224 3 20025y x x =-++． （2）每台冰箱应降价200元．（3）每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润 最高，最高利润是5 000元．二次函数应用题之最值问题（作业）1. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围．（2）当每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为 2 520元（3）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大最大的月销售利润是多少 【分析】解：2.在Rt△ABC的内部作一个矩形DEFG，按如图所示的位置放置，其中∠A=90°，AB=40 m，AC=30m．（1）如果设矩形的一边DE=x m，那么DG边的长度如何表示（2）在（1）的条件下，设矩形的面积为y m2，则当x取何值时，y的值最大最大值是多少G FEDCBA3.某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3 000元，已知绿茶每千克的成本为50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示：设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量-成本-投资）．（1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出当x为何值时，y的值最大；（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门的干预，销售单价不得高于90元/kg，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1 700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元【分析】解：4. 已知二次函数图象的顶点坐标为(1，-1)，且图象经过点(0，-3)．求这个二次函数的解析式．5. 二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ）A ．-3B ．3C ．-5D ．96. 抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：其中正确结论的序号是_______________．【参考答案】1．（1）210130 2 300y x x=-++（110x≤≤，且x为正整数）；（2）当每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰好为2 520元；（3）每件玩具的售价定为6元或7元时，可使月销售利润最大，最大的月销售利润是2 720元．2．（1）255012DG x=-+；（2）当x=12时，y的值最大，最大值是300．3．（1）2240w x=-+；（2）2234015 000y x x=-+-，当x=85时，y的值最大；（3）第2个月里应该确定销售单价为75元．4．2243y x x=-+-5．B6．①②④⑤7．①④⑤⑥每周一练（二）1.△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tan0B A--=，则△ABC 一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C ．直角三角形D ．有一个角是60°的三角形2. 已知tan 1α=，那么2sin cos 2sin cos -+αααα的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．163. 对于二次函数2(1)(3)y x x =+-，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向下B ．当2x <时，y 随x 的增大而减小C ．函数有最小值-8D ．与y 轴交点的坐标为(0，-8)4. 在同一平面直角坐标系内，将函数2241y x x =++的图象沿x 轴向右平移2个单位长度后再沿y 轴向下平移1个单位长度，所得图象的顶点坐标是（ ）A ．(-1，1)B ．(1，-2)C ．(2，-2)D ．(1，-1)5. 将抛物线2y ax bx c =++的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =-+，则有（ ） A ．b =2，c =6 B ．b =2，c =-6 C ．b =-6，c =14 D ．b =-6，c =06. 二次函数2()y a x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．二、三、四象限D．一、三、四象限7.反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则它们的解析式可能分别是（）A．kyx=，2y kx x=-B．kyx=，2y kx x=+C．kyx=-，2y kx x=+D．ky=-，2y kx x=-第7题图第8题图8.已知二次函数2y ax bx c=++（0a<）的图象如图所示，当50x-≤≤时，下列说法正确的是（）A．有最小值-5，最大值0 B．有最小值-3，最大值6C．有最小值0，最大值6 D．有最小值2，最大值9. 已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过A (1，2)，B (3，2)，C (0，-1)，D (2，3)四点，且点P (1x ，1y )，Q (2x ，2y )也在该函数的图象上，则当101x <<，223x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是（ ）A ．12y y ≥B ．12y y >C ．12y y <D ．12y y ≤10. 若等腰三角形的面积为10，腰长为5，则此等腰三角形的底角的正切值为_________．11. 若抛物线c bx x y ++=22的顶点坐标是(-1，-2)，则b 与c 的值分别是_______、_______．12. 已知两数之和为-10，则它们乘积的最大值是________，此时两数分别为____________．13. 如图，已知函数3y x=-与2y ax bx =+（0a >，0b >）的图象交于点P ，且点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程230ax bx x++=的解为____________．14. 若不论x 取何值，抛物线221y ax x =-++的函数值总为正数，则抛物线的顶点在第___象限，a 的取值范围是_______．15. 已知二次函数()()1y x m x n =--+（m n <）的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且12x x <，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为_______________________．16. 二次函数2y ax bx c =++（a ≠0轴为直线x =1，则下列说法正确的有_________．①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +<；④当13x-<<()a b m am b +>+（m ≠1）． 17. 已知二次函数的图象经过A (0，3)，B (2，3)，C (-1，0)三点．（1）求此二次函数的解析式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）若P (n ，y 1)，Q (4，y 2)是该二次函数图象上的两点，且12y y <，则实数n 的取值范围是_________________．18. 已知二次函数图象的顶点坐标为(3，-2)，且与y(0，25)．（1）求函数的解析式，并画出它的图象； （2）当y ≤6时，求自变量x 的取值范围．19. 如图，二次函数2(2)y x m =-+的图象与y 轴交于点C ，点B 与点C关于该二次函数图象的对称轴对称．已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足2+-+(2)kx b x m≥的x的取值范围．20.学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米．图案设计如图所示，广场的四角均为小正方形，阴影部分为四个矩形，且四个矩形的宽都与地面砖．（1）要使铺白色地面砖的面积为5 200角的小正方形的边长应为多少米（2）如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元，则当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少最少总费用是多少元21. 如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式2(6) 2.6y a x =-+．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．（1）求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）球能否越过球网球会不会出界请说明理由．y22.如图所示，一条小河的两岸1l∥2l，河两岸各有一座建筑物A和B．为测量A，B间的距离，小明从点B出发，在垂直河岸2l的方向上选取一点C，然后沿垂直于BC的直线行进24米到达点D，测得∠CDA=90°．取CD的中点E，测得∠BEC=56°，∠AED=67°，求A，B间的距离．（参考数据：sin56°≈45，tan56°≈32，sin67°≈1415，tan67°≈73，226=676，227=729）67°56°l2l1A F DECB23.如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东°的方向，前行1 200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°的方向，B位于南偏西41°的方向．（1）线段BQ与PQ是否相等请说明理由．（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°≈）l东北【参考答案】1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B9．C 10．2或1211．4，0 12．25；5-，5- 13．3x =- 14．二，1a <- 15．12m x x n <<< 16．①②③⑤17．（1）223y x x =-++；（2）(1，4)；（3）24n n <->或． 18．（1）21(3)22y x =--，图象略；（2）17x -≤≤． 19．（1）()221y x =--，1y x =-；（2）14x ≤≤． 20．（1）小正方形的边长应为10米或35米；（2）当广场四角小正方形的边长为米时，总费用最少， 最少总费用是199 500元．21．（1）()216 2.660y x =--+； （2）球能越过球网，球会出界，理由略． 22．A ，B 间的距离为26米．23．（1）相等，理由略；（2）A ，B 间的距离为2 000 m ．。