M O M 1 M 2 M 3 ... M n MO (F1 ) MO (F2 ) MO (F3 ) ... MO (Fn )
FR '
力系的主矢
M O 向O点简化的主矩
一、平面任意力系简化结果的计算
1.建立直角坐标系； 2.计算
y
MO
F Fi Fi
O FR′ MO
A．作用在O点的一个合力；
B．合力偶；
C．作用在O点右边某点的一个合力；
D．作用在O点左边某点的一个合力。
答案：D
§4-3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
FAx 32.89kN FAy 2.32kN
例 已知: P=60kN, P1=20kN, P2=10kN,风载F=10kN, 尺寸如图;
求: A,B处的约束力.
解: 取整体,画受力图.
M 0 12FBy 10P 6P1 4P2 2P 5F 0 F 0 FAy FBy 2P P1 P2 0 F 0 FAx F FBx 0
F1 sin F2 sin F3 sin 0
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平面平行力系的方程为两个，有两种形式
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例题
C
如图所示简易吊车，A、C 处为固定铰支座，B
处为铰链。已知 AB 梁重 P 4kN ，重物重 。求拉杆BC和支座A的约束反力。 Q 10kN
MO MO

' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx
2355 x 670.1 y 232.9
607.1x 232.9 y 2355 0
例 已知： =CB= l，P=10kN; AC 求： 铰链A和DC杆受力.
' R '
FR' FRx ' i FRy ' j
' ' FRx X, FRy Y；
FR'
O
x
3.计算力FR’的大小和方向
' '2 '2 FR FRx FRy ( X ) 2 ( Y ) 2 ' ' FRy FRx ' ' cos(FR , i) ' , cos(FR , j) ' FR FR
MO d FR
M O FRd
FR FR F
合力矩定理
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR 0 M O 0
合力偶 与简化中心的位置无关
若为O1点，如何?
FR 0 M O 0
平衡 与简化中心的位置无关
某平面任意力系向O点简化后，得到如图所示 的一个主矢FR′和一个主矩MO，则该力系的最后简 化结果为（ ）。
2 2
FOy F
M FR
例
已知: F=20kN, q=10kN/m,M 20kN m, l=1m;
求: A,B处的约束力. 解: 取CD梁,画受力图.
M

C
0
l FB sin 60 l ql F cos30 2l 0 2
FB=45.77kN
取整体,画受力图.
（1）主矢：
F F
x y
F1 F2 cos 232.9kN P P2 F2 sin 670.1kN 1
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 709.4kN
Fx Fy cos( FR ', i ) 0.3283 , cos( FR ', j ) 0.9446 FR ' FR ' (FR ', i ) 70.84 , (FR ', j ) 180 19.16
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例 已知： P, q, a, M qa;
求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx 0
解得
FAx 0
M
A
0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
Fy 0
FN F tan FR l 2 R2
x
F Fl cos l 2 R2
取轮,画受力图.
F
ix
0
FOx FA sin 0
F 0 FOy FA cos 0 M 0 FA cos R M 0
iy
O
FOx
FR l R
解：以AB及重物作为研究对象,受力如图 列平衡方程
A
B
D
E
X 0，
FAx FBC cos30 0
FAy FBC sin30 P Q 0
C
3m
P
Q
1m 2m
M
Y 0 ，
A
(F) 0 ，
FAy
A D
FBC AB sin30 P AD Q AE 0
M O M O ( F ) 3F1 1.5P 3.9P2 2355kN m 1
主矩：
（2）求合力及其作用线位置.
MO 2355 d 3.3197m ' FR 709.4
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）求合力作用线方程
F2
FR '
F3 '
F3
O
F3
O
Mn
O
MO
Fn '
Fn Fn
F1' F1
F2' F2
F3' F3
……
Fn' Fn
M 1 MO (F1 )
M 2 MO (F2 )
M 3 MO (F3 ) …… M n MO (Fn )
FR ' F1' F2' F3' ... Fn' F1 F2 F3 ... Fn
因为
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 M O M O ( Fi )
平面任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 M O 0
一般式
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两 个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以 及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.
第四章 平面任意力系
§4-1
力的平移
力的平移定理 可以把作用在刚体上点A的力 F平行移到任一点B，但必须同时 附加一个力偶，这个附加力偶的 矩等于原来的力F对新作用点B的 矩.
M B M B ( F ) Fd
§4-2 平面任意力系向一点简化
F1
F2
F1
F1 '
M2 M1
F2 '
M3
FEy P FA sin 450 0
4.计算力偶的力偶矩
M O M O (F1 ) M O (F2 ) ... M O (Fn )
M O (Fi )
二 、平面任意力系的简化结果分析
可能存在以下四种情况：
FR 0 M O 0
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力，作用线距简化中心
MO FR
F
x
0

FAx FB cos 60 F sin 30 0
F
y
0
FAy FB sin 60 2ql F cos30 0
M
A
0
M A M 2ql 2l FB sin 60 3l F cos30 4l 0
M A 10.37kN m
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0
Fy 0 FAy FC sin 45 P 0
M A 0 FC cos 45 l P 2l 0
解得
FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
FAy q 2a P FB 0
P 3 FAy qa 4 2
3 1 FB P qa 4 2
例
已知： P 100kN,
M 20kN m,
q 20kN m, F 400kN, l 1m;
求： 固定端A处约束力. 解：取T型刚架，画受力图.
其中
Fx 0
平面任意力系的平衡方程另两种形式
Fx 0 二矩式 M A 0 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直 M 0 B
M A 0 M B 0 M 0 C
三矩式 三个取矩点，不得共线
平衡方程的三种形式
一般式
二矩式
X 0 Y 0 M (F) 0 X 0 M (F) 0 M (F) 0
例 已知：P 10kN, P2 40kN, 尺寸如图； 1 求： 轴承A、B处的约束力. 解： 取起重机，画受力图.
Fx 0
FAx FB 0
Fy 0
FAy P P2 0 1
FB 5 1.5 P 3.5 P2 0 1
M
解得
A
0