习题 1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x x y的定义域和值域。
3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g xxx f ==。
4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=； （3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。
7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。
8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。
11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。
（1）t x x y sin ,3==（2）2,x u a y u ==； （3）23,log 2+==x u u y a ；（4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。
12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）321)1(++=x y（2）2)1(3+=x y ；（3）)13(sin 2+=x y（4）32cos log x y a =。
13．求下列函数的反函数： （1）x y sin 2=；（2）)2(log 1++=x y a ；（3）122+=x xy 。
习题1—31．利用数列极限定义证明：如果A u n n =∞→lim ，则||||l i m A u n n =∞→，并举例说明反之不然。
习题1—41．设⎩⎨⎧≥+<=)1(1)1()(2x x x x x f（1）作函数)(x f y =的图形； （2）根据图形求极限)(lim 1x f x -→与)(lim 1x f x +→； （3）当1→x 时，)(x f 有极限吗？ 2．求下列函数极限：（1）||lim 0x x x +→； （2）||lim 0x x xx ++→； （3）||lim 0x x xx +-→。
3．下列极限是否存在？为什么？ （1）x x sin lim +∞→；（2）x x arctan lim ∞→；（3）xx 1cos lim 0→；（4）)e 1(lim x x -∞→+；（5）1|1|lim1--→x x x ；（6）x x -+∞→e lim 。
习题1—5求下列极限1．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→)1(1321211lim n n x ； 2. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→22221lim n n n n x ； 3. 35lim 22-+→x x x ； 4．112lim 221++-→x x x x ；5. hx h x h 220)(lim -+→； 6. 11lim31--→x x x 。
习题1—61．求下列极限：（1）)0(sin sin lim 0≠→b bx axx ；（2）0sin tan limx xx x -→；（3）xx xx sin cos 1lim0-→；（4）x xx x sin tan 2lim 0-→；（5）x xx arcsin lim 0→；（6）xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→21lim ；（7）tt t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim ；（8）311lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x ；（9）x x x cot 0)tan 1(lim +→；（10）xx a x a x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→lim ；（11）12212lim +∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x ； （12）nx n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→211lim 。
2．利用极限存在准则证明：（1）11211lim 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→πππn n n n n x ；（2）数列222,22,2+++，…的极限存在； （3）111lim 2=+++∞→x x x 。
习题1—71．当n 无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？（1）21n； （2）1)1(+-n n ； （3）n n 12+； （4）n n πcos 1-。
2．已知函数x x x xx x x -+e ,e ),1ln(,1,1,sin 2（1）当0→x 时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （2）当+∞→x 时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？（3）“x1是无穷小”，这种说法确切吗？3．函数x x y cos =在),(∞+-∞是是否有界？又当+∞→x 地，这个函数是否为无穷大？为什么？4．求下列极限 （1）1000!lim 2+∞→n nx ；（2）2lim 2-+∞→n nn x ； （3）n n x b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim；)1||,1|(|<<b a（4）113)2(2)2(lim ++∞→+-+-n n n n x ； （5）1lim 31+-→x x x ； （6）15614lim 2221+--→x x x x ；5．求下列极限：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x sin e lim ；（2）xx x 1cos lim 0⋅→；（3）ππn nn sin lim∞→；（4）xxx arctan lim ∞→； （5）x x x arctan e lim -∞→； （6）x x x arctan e lim -+∞→。
6．下列各题的做法是否正确？为什么？（1）∞=--=--→→→)9(lim )9(lim 99lim92929x x x x x x x （2）011lim 11lim )1111(lim 111=∞-∞=---=---→→→x x x x x x x（3）01lim cos lim cos lim=⋅=∞→∞→∞→xx x x x x x 。
7．证明：当0→x 时，x x ~arcsin ，x x ~arctan 。
8．利用等价无穷小的性质，求下极限：（1）x x x 3sin 2sin lim 0→； （2）xxx arctan 2sin lim 0→；（3）m n x x x )(sin sin lim 0→（nm ,为正整数）；（4）xxx cos 1lim 0-+→。
9．当1→x 时，233+-x x 是1-x 是多少阶无穷小？10．当+∞→x 时，114++x x 是x 1是多少阶无穷小？11．当∞→x 时，x x 1sin 1是x1是多少阶无穷小？习题1—81．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）xxx f =)(；（2）⎩⎨⎧≤<-≤≤=)21(2)10()(2x x x x x f ；（3）⎩⎨⎧>≤=)1|(|)1|(|)(2x x x x x f ； （4）⎩⎨⎧=≠=)0(1)0(||)(x x x x ϕ。
2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
（1）23122+--=x x x y ； （2）x n y tan =； （3）x y 1cos 2=。
3．a 为何值时函数⎩⎨⎧≤<+≤≤=)21()10(e )(x x a x x f x 在[0，2]上连续？4．讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性，若有间断点，判断共类型。
习题1—91．设)(x f 连续，证明|)(|x f 也是连续的。
2．若)(x f 在],[b a 上连续，且在],[b a 上)(x f 恒为正，证明：)(1x f 在],[b a 上迹连续。
3．求下列极限：（1）52lim 20+-→x x x ； （2）34)2(sin lim x x π→； （3）xxx x sin 3sin 5sin lim0-→；（4）ax ax a x --→sin sin lim ； （5）)0(lim>--→a b x a a b x b x ； （6）xx x )31ln(lim0+→；（7）xx xx +→20sin lim ； （8）x x th lim +∞→；（9）)12(lim 3-+-∞→x x x ；（10）422lim 22--+-+→x x x x ；（11）1lim++++∞→x xx x x（12）xax a x ln )ln(lim 0-+→。
习题1—101．证明：方程135=-x x 在区间（1，2）上至少有一个根。
2．设)(x f 在闭区间[a ，b ]上连续，n x x x ,,,21 是[a ，b ]内的n 个点，证明：],[b a ∈∃ξ，使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=ξ习题2—11．用导数定义求下列函数的导数： （1）b ax y += （b a ,是常数）；（2）x x f cos )(=；（3）xy 1=。
2．下列各题中假定)(0x f '存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么？ （1）A xx f x x f x =--→∆∆∆)()(lim 000； （2）A x x f x =→)(lim 0，其中，0)0(=f ；（3）A hh x f h x f h =--+→)()(lim000。