第3章 多维随机变量及其分布试题答案一、选择（每小题2分）1、设二维随机变量),(Y X 的分布律为则{0}P X Y +≠=（ C ）(A) (B) (C) (D) 2、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<-<<-=othery x c y x f ,011,11,),(，则常数c =（A ） (A)41 (B) 21(C) 2 (D)4 3、设二维随机变量),(Y X 的分布律为设1,0,},,{====j i j Y i X P p ij ，则下列各式中错误的是（ D ） (A) 0100p p < (B) 1110p p < (C) 1100p p < (D) 0110p p < 4、设二维随机变量),(Y X 的分布律为则}{Y X P ==（A ）(A) (B) (C) (D)5、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧>>=--other y x e Ae y x f y x ,00,0,),(2，则常数A =（D ）(A)21 (B) 1 (C) 23(D)2 6、设二维随机变量),(Y X 的分布律为则}0{=XY P =（C ） (A)41 (B) 125 (C) 43(D)1 7、设二维随机变量),(Y X 的分布律为),(y x F 为其联合分布函数，则)3,3(F =（D ）(A) 0 (B) 121 (C) 61 (D) 418、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧>>=--other y x e e y x f y x ,00,0,),(，则}{Y X P ≥=（B ） (A)41 (B) 21 (C) 32 (D) 439、设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别41，43，则}1{-=XY P =（ D ） (A)161 (B) 163 (C) 41 (D) 8310、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为),(y x F ，则),(+∞x F =（ B ） (A) 0 (B) )(x F X (C) )(y F Y (D) 111、设随机变量X 和Y 相互独立，且)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则Y X Z +=3~（D ） (A) )21,7(N (B) )27,7(N (C) )45,7(N (D) )45,11(N 12、设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合概率分布为则)1,0(F =（B ）(A) (B) (C) (D) 13、设二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=other y x y x k y x f ,010,20),(),(，则k =（ B ） (A)41 (B) 31 (C) 21 (D) 3214、设二维随机变量),(Y X 的分布律为则}2{=XY P =（C ）(A) (B) (C) (D)15、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤≤≤=other y x xy y x f ,010,10,4),(，则当10≤≤y 时，),(Y X 关于Y 的边缘概率密度为)(y f Y =（D ）(A)x21(B) x 2 (C) y 21 (D) y 216、设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为则有（B ） (A) 92,91==βα (B) 91,92==βα (C) 32,31==βα (D) 31,32==βα 17、设二维随机变量),(Y X 的分布律为则}0{=XY P =（D ） (A)121 (B) 61 (C) 31 (D) 32 18、设二维随机变量),(Y X 的分布律为且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是（C ） (A) 6.0,2.0==b a (B) 9.0,1.0==b a (C) 4.0,4.0==b a (D) 2.0,6.0==b a 19、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=other y x y x f ,020,20,41),(，则}10,10{<<<<Y X P =（A ） (A)41 (B) 21 (C) 43(D) 1 20、设(X ，Y )的概率分布如下表所示，当X 与Y 相互独立时，),(q p =（C ）(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛151,51 (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛51,151 (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛152,101 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛101,15221、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=other y x y x k y x f ,010,20),(),(，则k =（A ） (A)31 (B) 21(C) 1 (D)3 22、设随机变量X 和Y 相互独立，其概率分布为2121}{11m X P m=- 2121}{11m Y P m =- 则下列式子正确的是（C ）(A) X=Y (B) 0}{==Y X P (C) 21}{==Y X P (D) 1}{==Y X P 23、设随机变量.25.05.025.01011iP X -，.25.05.025.01012iP X -，且满足1}0{21==X X P ，则}{21X X P ==（A ）(A) 0 (B)41 (C) 21(D) 1 24、设两个相互独立随机变量X 和Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（B ）(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P 解：由)2,1(~N Y X Z +=，其分布密度关于1对称，故21}1{=≤+Y X P 。

25、设两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布：21}1{}1{=-==-=Y P X P ，21}1{}1{====Y P X P ，则下列各式中成立的是（A ） (A) 21}{==Y X P (B) 1}{==Y X P (C) 41}0{==+Y X P (D) 41}1{==XY P二、填空（每小题2分）1、设)0;1,1;0,0(~),(N Y X ，则),(Y X 关于X 的边缘概率密度=)(x f X 2221x e-π2、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=other y x kxy y x f ,010,10,),(，则常数k =43、设二维随机变量),(Y X 的联合分布列为则}0{=+Y X P =4、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=other y x y x f ,010,10,1),(，则}21{≤X P =215、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-other y x e y x f y x ,00,0,),()(，则),(Y X 关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎩⎨⎧>-othery e y ,00,6、设随机变量X ，Y 分布律为则a =101 7、设)4,1(~-N X ，)9,1(~N Y 且X 与Y 相互独立，则~Y X +)13,0(N8、设二维随机变量),(Y X 的分布律为下表，则a =929、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=other y x xy y x f ,020,10,),(，则),(Y X 关于X 的边缘概率密度=)(x f X ⎩⎨⎧≤≤other x x ,010,210、设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中区域D 是直线x y =，1=x 和x 轴 所围成的三角形区域，则(X,Y)的概率密度),(y x f =⎩⎨⎧∈other Dy x ,0),(,211、已知当10<<x ，10<<y 时，二维随机变量),(Y X 的分布函数22),(y x y x F =，记(X,Y)的概率密度为),(y x f ，则)41,41(f =12、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=other y x y x f ,010,10,1),(，则}21,21{>≤Y X P =4113、设二维随机变量),(Y X 的分布律为则}0{=XY P =43 14、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-other y x e y x f y x ,00,0,),()(，则),(Y X 关于X 的边缘概率密度=)(x f X ⎩⎨⎧>-other x e x ,00,15、设X 与Y 为相互独立的随机变量，其中X 在(0，1)上服从均匀分布，Y 在(0，2) 上服从均匀分布，则(X ，Y)的概率密度),(y x f =⎪⎩⎪⎨⎧<<<<othery x ,020,10,2116、设随机变量X ，Y 分布律为则)2{=Y P =41 17、设连续型随机变量)4,1(~N X ，则~21-X )1,0(N 18、设随机变量),2(~p b X ，),3(~p b Y ，若95}1{=≥X P ，则}1{≥Y P =2719 19、设二维随机变量),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧≥≥--=--other y x e e y x F y x ,00,0),1)(1(),(5.05.0，则X 的边缘分布函数)(x F X =⎩⎨⎧≥--other x e x ,00),1(5.020、设二维随机变量),(Y X 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<+=other y x y x A y x f ,010,20),(),(，则常数A =3121、设随机变量X ～U (0，5)，且Y=2X ，则当100<<y 时，Y 的概率密度)(y f Y =101 三、计算题（8分）1、设二维随机变量),(Y X 的联合密度为⎩⎨⎧>>=+-other y x e y x f y x ,00,0,2),()2(，求：（1）关于X 和Y 的边缘密度函数和边缘分布函数；（2）}2}{<+Y X P ； （3）}1|2{<<Y X P解：（1）)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-+∞+-⎰000,2220)2(x x e dy ex y x)(x F X =}{x X P ≤=dx x f xX )(⎰∞-=⎩⎨⎧≤>--0,00,12x x e x)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-+∞+-⎰000,20)2(y y e dx ey y x ，)(y F Y =}{y Y P ≤=dy y f yY )(⎰∞-=⎩⎨⎧≤>--0,00,1y y e y（2）}2{<+Y X P =⎰⎰<+2),(y x dxdy y x f =dxdy ey x y x y x ⎰⎰>><++-0,02)2(2=dy e dx xy x ⎰⎰-+-220)2(2=dy e dx exyx⎰⎰---202022=dx e e x x )(2222⎰----=2121---+e e =22)1(--e（3）)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-+∞+-⎰000,20)2(y y e dx ey y x}1|2{<<Y X P =}1{}1,2{<<<Y P Y X P =⎰⎰⎰-+-1201)2(2dy e dy e dx y y x =41--e。